좌표계

좌표계(座標系, 영어: coordinate system)는 점의 위치 등을 일정한 규칙에 따라 수의 묶음으로 나타내는 체계이다. 이때 위치를 나타내는 수를 좌표라고 한다. 예를 들어 평면의 데카르트 좌표계에서는 한 점의 위치를 $(x,y)$라는 두 수의 순서쌍으로 나타내며, 극좌표계에서는 기준점으로부터의 거리와 기준 방향에 대한 각도로 나타낸다.

같은 점의 위치를 가로·세로 좌표 또는 원점까지의 거리와 방향각으로 나타낸 모습. 사용하는 수의 의미는 달라도 점의 위치는 같다.

예를 들어 같은 길이 단위를 사용하는 평면의 데카르트 좌표계에서 $(3,4)$인 점은 가로 좌표가 3, 세로 좌표가 4이다. 같은 원점과 기준 방향을 사용하는 극좌표계에서는 원점까지의 거리가 5이고 방향각이 약 $53.1^{\circ }$인 점으로 나타낸다. 이처럼 좌표계가 달라지면 같은 위치를 표현하는 수와 그 의미도 달라진다.

좌표는 점 자체의 성질만으로 정해지는 값이 아니라 선택한 좌표계에 따른 표현이다. 같은 점도 원점이나 축의 방향, 단위, 좌표를 정하는 방식을 바꾸면 다른 좌표를 갖는다. 좌표계를 정하면 도형을 방정식으로 표현하고, 거리·넓이·부피나 물체의 운동을 수식으로 계산할 수 있다. 기하학적 관계를 대수적 관계로 바꾸어 다루는 이러한 방법은 해석기하학의 기초를 이룬다.

좌표계의 선택은 다루는 대상과 목적에 따라 달라진다. 직선이나 평면을 다룰 때에는 데카르트 좌표계가, 원이나 회전 대칭을 다룰 때에는 극좌표계가 편리한 경우가 많다. 공간에서는 원통좌표계와 구면좌표계가 널리 쓰이며, 지구상의 위치를 표시하는 위도·경도와 컴퓨터 그래픽스의 동차좌표도 좌표를 이용한 표현의 예이다.

기본 개념

좌표와 좌표값

좌표는 위치를 나타내는 순서 있는 수의 묶음으로 쓴다. 수직선의 점에는 실수 하나를, 데카르트 좌표계의 평면 위 점에는 순서쌍 $(x,y)$를 대응시키는 것이 기본적인 예이다. 좌표의 순서와 각 성분의 의미는 선택한 좌표계에서 정해진다.

좌표의 값만으로는 위치를 충분히 해석할 수 없다. 어떤 원점을 기준으로 했는지, 각 수가 거리인지 각도인지, 어떤 단위를 사용했는지 등이 함께 정해져야 한다. 예를 들어 거리 좌표 1이 1미터를 뜻하는지 1킬로미터를 뜻하는지에 따라 가리키는 위치가 달라진다. 좌표계는 이러한 수들의 의미와 대응 규칙을 제공한다.

관련 용어

좌표계는 위치를 수로 나타내는 규칙이며, 데카르트 좌표계는 그 규칙의 한 종류이다. 반면 수직선·좌표평면·좌표공간은 좌표를 부여한 직선·평면·공간을 가리킨다. 따라서 좌표계의 종류와 좌표를 부여한 대상은 구별한다.

관련 용어의 구별

용어	가리키는 것	기본적인 의미
좌표계	표현 규칙	위치 등을 순서 있는 수의 묶음으로 나타내는 체계
데카르트 좌표계	좌표계의 한 종류	원점과 서로 직교하는 직선축을 이용하는 좌표계. 1차원에서는 하나의 축을 사용한다.
수직선	좌표를 부여한 직선	직선의 각 점을 실수 하나로 나타낸다.
좌표평면	좌표를 부여한 평면	기초적인 문맥에서는 보통 두 데카르트 좌표 $(x,y)$를 사용하는 평면을 뜻한다.
좌표공간	좌표를 부여한 공간	기초적인 문맥에서는 주로 세 데카르트 좌표 $(x,y,z)$를 사용하는 공간을 뜻한다. 일반적으로는 $n$차원의 실수 좌표공간도 포함한다.
직교좌표계	좌표계의 직교성에 관한 용어	데카르트 좌표계의 뜻으로 쓰이기도 한다. 넓은 뜻에서는 좌표곡선의 접선 방향들이 서로 수직인 좌표계를 가리킨다.

직교좌표계의 넓은 뜻에는 극·원통·구면좌표계도 포함된다. 좌표선이 곡선이어도 서로 직각으로 만날 수 있기 때문이다. 좌표곡선의 방향이 정상적으로 정의되지 않는 특이점은 이러한 설명에서 제외한다. 또한 3차원 데카르트 좌표계에서 말하는 $xy$좌표평면은 공간 전체가 아니라 $z=0$인 평면이다. 이는 두 좌표로 점을 나타내는 평면과 관련되지만 사용되는 문맥이 다르다.

직선·평면·공간의 좌표

데카르트 좌표계에서는 직선 위의 점을 수 하나로, 평면 위의 점을 두 수로, 3차원 공간의 점을 세 수로 나타낸다. 각 성분은 해당 축 방향의 위치를 뜻하며, 성분의 순서를 바꾸면 일반적으로 다른 점을 나타낸다.

데카르트 좌표의 기본적인 예

대상	좌표 표기	좌표의 예
직선	$x$	$3$
평면	$(x,y)$	$(3,4)$
3차원 공간	$(x,y,z)$	$(3,4,4)$

대표적인 좌표계

흔히 사용하는 좌표 표현을 비교하면 다음과 같다. 아래의 극좌표계·원통좌표계·구면좌표계에서는 거리 좌표 $r$과 $\rho$를 음이 아닌 값으로 사용하고, 방위각은 공통으로 $\phi$로 표시한다. 구면좌표의 천정각은 $\theta$로 표시한다. 각 기호와 각도 정의는 문헌에 따라 다를 수 있으므로, 좌표를 비교하거나 변환할 때에는 사용된 관례를 확인한다.

대표적인 좌표 표현의 비교

좌표계	좌표 표기	각 좌표의 의미
데카르트 좌표계	$(x,y)$ 또는 $(x,y,z)$	서로 수직인 축의 방향으로 측정한 부호를 포함한 거리
극좌표계	$(r,\phi )$	기준점까지의 거리와 기준 방향에서 잰 방위각
원통좌표계	$(\rho ,\phi ,z)$	기준축까지의 거리, 축 둘레의 방위각, 높이
구면좌표계	$(r,\theta ,\phi )$	원점까지의 거리, 양의 $z$축에서 잰 천정각, 방위각

데카르트 좌표계

 이 부분의 본문은 데카르트 좌표계입니다.

데카르트 좌표계는 서로 수직인 직선축을 기준으로 점의 위치를 나타내는 좌표계이다. 평면에서는 두 좌표 $(x,y)$를, 공간에서는 세 좌표 $(x,y,z)$를 사용한다. 각 성분은 원점에서 해당 축 방향으로 잰 부호를 포함한 거리이며, 기하학적 거리와 각도를 계산할 때에는 모든 축에 같은 길이 단위를 사용한다. 직선과 평면의 방정식을 다루거나 축 방향의 격자에서 위치를 읽는 데 쓰인다.

극좌표계

 이 부분의 본문은 극좌표계입니다.

극좌표의 격자. $r$는 기준점까지의 거리, $\phi$는 기준 방향에서 잰 방위각이다. 반지름이 일정한 원과 방위각이 일정한 반직선으로 좌표값을 읽는다.

극좌표계는 평면에서 기준점인 극과 기준 방향인 극축을 정하고, 거리 $r$와 각도 $\phi$로 점을 나타낸다. 반지름을 음이 아닌 값으로 사용하는 경우 $r$는 극에서 점까지의 거리이며, $\phi$는 극축에서 그 점을 향한 방향까지 측정한 각도이다. 보통 각도의 양의 방향은 반시계 방향으로 정한다.

원을 따라 움직이거나 원점을 중심으로 회전하는 대상을 표현할 때 유용하다. 예를 들어 극을 중심으로 하고 반지름이 $R>0$인 원은 $r=R$이라는 간단한 식으로 표현된다. 반면 같은 점을 나타내는 좌표가 여러 개일 수 있으므로 각도와 반지름의 허용 범위를 함께 정해야 한다.

원통좌표계와 구면좌표계

 이 부분의 본문은 원통좌표계 및 구면좌표계입니다.

원통좌표계는 평면의 극좌표에 높이 좌표를 더한 공간 좌표계이다. 좌표를 $(\rho ,\phi ,z)$로 쓰면 $\rho$는 점에서 $z$축까지의 거리, $\phi$는 $xy$평면에 투영한 방향의 각도, $z$는 데카르트 좌표계의 높이 좌표이다. 이때 $\rho$는 원점까지의 거리와 구별된다. 원통이나 관처럼 한 축을 중심으로 대칭인 대상을 다룰 때 편리하다.

구면좌표계에서는 원점에서 점까지의 거리와 두 각도로 위치를 나타낸다. $(r,\theta ,\phi )$라는 표기를 사용하는 관례에서 $r$는 원점까지의 거리, $\theta$는 양의 $z$축과 점을 향한 방향 사이의 각인 천정각, $\phi$는 $xy$평면에서 측정한 방위각이다. 반지름은 $r\geq 0$, 천정각은 $0\leq \theta \leq \pi$, 방위각은 $0\leq \phi <2\pi$로 정할 수 있다. 구나 원점을 중심으로 대칭인 대상을 표현할 때 유용하다.

구면좌표의 기호와 각도 정의는 문헌에 따라 다르다. 두 각에 쓰는 $\theta$와 $\phi$를 서로 바꾸는 관례도 있으므로 기호만 보고 각의 의미를 판단하지 않는다. 예를 들어 극좌표의 방위각을 $\theta$로 쓰는 문헌도 있다. 여기서는 평면과 공간의 방위각을 모두 $\phi$로 나타내며, 천정각 $\theta$와 구별한다.

• 같은 점의 세 가지 공간 좌표 표현
• 
  데카르트 좌표 $(x,y,z)$. 서로 직교하는 세 축 방향의 성분으로 위치를 나타낸다. 세 그림의 $Q$는 $P$를 $xy$평면에 투영한 점이다.
• 
  원통좌표 $(\rho ,\phi ,z)$. $\rho$는 기준축까지의 거리, $\phi$는 방위각, $z$는 높이이다.
• 
  구면좌표 $(r,\theta ,\phi )$. $r$는 원점까지의 거리, $\theta$는 천정각, $\phi$는 방위각이다.

좌표 표현의 범위

고정된 평면의 데카르트 좌표계에서는 한 점에 하나의 좌표쌍이 대응한다. 그러나 모든 좌표 표현이 처음부터 이러한 일대일 대응을 갖는 것은 아니다. 극좌표에서 각도를 라디안으로 나타내면 한 바퀴는 $2\pi$에 해당한다. 각도에 이 값을 더해도 같은 방향이므로 $(r,\phi )$와 $(r,\phi +2\pi )$가 같은 점을 나타낸다. 음의 반지름을 허용하는 관례에서는 $(-r,\phi +\pi )$도 같은 점을 나타낸다.

대표적인 표현 하나를 고르려면 반지름을 음이 아닌 값으로 하고 각도를 $0\leq \phi <2\pi$처럼 한 주기로 제한할 수 있다. 이때 0과 $2\pi$는 같은 방향이므로 두 끝점을 모두 포함시키지 않는다. 그래도 원점에서는 반지름이 0인 모든 각도가 같은 점을 나타내므로 방향각이 정해지지 않는다. 원통좌표계에서는 $z$축 위의 점에서 방위각이 정해지지 않는다. 구면좌표계에서도 $z$축 위의 점에서는 방위각이 정해지지 않으며, 원점에서는 천정각과 방위각이 모두 정해지지 않는다.

이러한 예외는 점이나 공간 자체에 이상이 있다는 뜻이 아니라 선택한 좌표 표현이 그곳에서 유일하게 정해지지 않는다는 뜻이다. 또한 극좌표계에서 각도를 한 주기로 제한하면 한 바퀴가 끝나는 경계에서 좌표값이 불연속적으로 바뀔 수 있다. 좌표를 연속적으로 사용해야 하는 문제에서는 적절한 영역을 정하거나 다른 좌표계를 함께 사용한다.

좌표선과 좌표면

좌표축

 이 부분의 본문은 데카르트 좌표계입니다.

데카르트 좌표계에서 좌표축은 원점을 지나며 좌표를 측정하는 기준이 되는 직선이다. 한 좌표만 변화시키고 나머지 좌표를 0으로 고정하면 해당 좌표축을 얻는다. 이러한 축은 데카르트 좌표선의 특수한 경우이다.

좌표곡선

좌표 중 하나만 변화시키고 다른 좌표들을 일정하게 유지할 때 얻는 곡선을 좌표곡선이라고 한다. 데카르트 좌표평면에서 $y$를 고정하고 $x$를 변화시키면 $x$축에 평행한 직선이 생긴다. 반대로 $x$를 고정하면 $y$축에 평행한 직선이 생긴다.

반지름을 음이 아닌 값으로 사용하는 극좌표에서 양의 $r$를 고정하고 각도를 변화시키면 원이 생기고, 각도를 고정하고 반지름을 변화시키면 극에서 뻗어 나가는 반직선이 생긴다. 이처럼 좌표값이 일정한 선들을 그린 좌표 격자는 점의 위치를 읽고 좌표계의 구조를 이해하는 데 쓰인다. 반지름이 0일 때에는 원이 한 점으로 줄어들므로 보통의 좌표곡선과 다른 예외가 생긴다.

좌표면

3차원 공간에서 하나의 좌표를 고정하고 나머지 두 좌표를 변화시키면 좌표면을 얻는다. 데카르트 좌표계의 $x=c$, $y=c$, $z=c$는 각각 해당 축에 수직인 평면이며, 그중 고정한 값이 0인 세 평면을 좌표평면이라고 한다. 일반적으로 두 좌표를 고정한 좌표곡선은 두 좌표면의 교선으로 볼 수 있다.

원통좌표계에서 $\rho =R>0$인 좌표면은 $z$축을 중심축으로 하는 원통이고, 구면좌표계에서 $r=R>0$인 좌표면은 원점을 중심으로 하는 구면이다. 원통좌표의 $z=c$는 평면이며, 구면좌표의 천정각을 일정하게 두면 보통 원뿔면이 나타난다. 좌표계의 이름은 이러한 대표적인 좌표면과 관련되어 있다.

곡선좌표와 직교성

 이 부분의 본문은 곡선좌표계, 직교좌표계 및 사교좌표입니다.

좌표곡선의 직교성. 데카르트 좌표의 직선 격자와 극좌표의 원·반직선 격자는 모두 교점에서 접선 방향이 서로 수직이다. 극좌표의 원점은 제외한다.

곡선좌표계에서는 좌표선이 곡선으로 휘어질 수 있다. 극·원통·구면좌표가 대표적인 예이며, 넓은 의미의 곡선좌표 형식에는 직선 격자를 갖는 데카르트 좌표계도 특수한 경우로 포함된다.

좌표가 정상적으로 정의되는 각 점에서 서로 다른 좌표곡선의 접선 방향들이 서로 수직이면 직교좌표계라고 한다. 데카르트 좌표뿐 아니라 극·원통·구면좌표도 좌표가 정상적으로 정의되는 곳에서는 직교좌표이다. 따라서 직교라는 말은 반드시 좌표선이 직선이라는 뜻은 아니다. 반면 서로 수직이 아닌 직선축을 사용하는 좌표는 사교좌표의 예이다. 곡선좌표에서는 좌표의 증가 방향이나 좌표값의 변화가 나타내는 실제 길이가 위치에 따라 달라질 수 있다.

그 밖의 좌표 표현

동차좌표

 이 부분의 본문은 동차좌표입니다.

동차좌표는 좌표값의 비율을 이용하여 점을 표현하는 방식이다. 평면의 데카르트 좌표 $(x,y)$는 동차좌표 $[x:y:1]$로 나타낼 수 있다. 일반적인 표현 $[X:Y:W]$에서 $W\neq 0$이면 대응하는 평면의 점은 $(X/W,Y/W)$이다. 모든 성분이 0인 묶음은 제외하며, 0이 아닌 같은 수를 모든 성분에 곱한 표현은 같은 점을 나타낸다. 예를 들어 $[2:4:2]$와 $[1:2:1]$은 모두 $(1,2)$를 나타낸다.

사영 평면에서는 $W=0$인 표현이 무한원점을 나타내며, 이를 이용하면 평행한 직선도 사영적으로 만나는 점을 갖도록 다룰 수 있다. 컴퓨터 그래픽스에서는 동차좌표를 사용하여 평행이동·회전·원근 투영 등을 행렬로 표현하고 합성한다. 여분의 좌표를 추가하는 것은 표현을 바꾸는 것이며 평면 자체의 차원을 높이는 것은 아니다.

중심좌표계

 이 부분의 본문은 중심좌표계입니다.

중심좌표의 넓이 해석. 내부의 점 $P$가 나눈 세 삼각형의 넓이를 전체 넓이로 나누면, 각각 마주 보는 꼭짓점에 대한 가중치가 된다.

중심좌표계 또는 무게중심 좌표계는 기준이 되는 꼭짓점들에 대한 가중치로 위치를 나타낸다. 한 직선 위에 있지 않은 세 꼭짓점 $A,B,C$를 정한 삼각형의 경우, 좌표를 $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$로 쓰고 합을 1로 정규화하면 그 삼각형이 놓인 평면 위의 점은 세 꼭짓점의 위치를 이 가중치에 따라 결합한 것으로 표현된다. 각 꼭짓점의 데카르트 좌표에 해당 가중치를 곱해 더하면 나타내려는 점의 데카르트 좌표가 된다. 꼭짓점 $A$의 좌표는 $(1,0,0)$이고, 삼각형의 무게중심의 좌표는 $(1/3,1/3,1/3)$이다.

정규화된 좌표가 모두 양수이면 점은 삼각형의 내부에 있고, 모두 음이 아니며 일부가 0이면 경계에 있다. 삼각형 밖의 점에는 음의 성분이 나타난다. 이 좌표는 부호 있는 넓이의 비율로도 해석할 수 있으며, 삼각형 기하와 삼각형 내부의 값들을 보간하는 계산에 사용된다. 세 좌표의 합이 1이어야 하므로 독립적인 값은 두 개이다.

좌표 변환

같은 점의 다른 표현

같은 점의 데카르트 좌표 $(x,y)$와 극좌표 $(r,\phi )$. 가로·세로 좌표는 각각 $r\cos \phi$와 $r\sin \phi$이다.

좌표 변환은 한 좌표계에서 표현한 점의 좌표를 다른 좌표계의 좌표로 바꾸는 것이다. 원점과 기준 방향을 맞춘 평면의 데카르트 좌표 $(x,y)$와 극좌표 $(r,\phi )$ 사이의 변환은 삼각함수를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.

$x=r\cos \phi ,\qquad y=r\sin \phi$

예를 들어 데카르트 좌표가 $(1,{\sqrt {3}})$인 점은 극좌표로 $(2,\pi /3)$이라고 나타낼 수 있으며, 이때 각도 $\pi /3$은 $60^{\circ }$이다. 두 표현은 서로 다른 점이 아니라 같은 점을 가리킨다.

반대로 거리 좌표는 $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$로 구한다. 각도는 $x$와 $y$의 부호를 함께 살펴 점이 있는 사분면에 맞게 정해야 한다. 역탄젠트 $\arctan(y/x)$만 사용하면 반대 방향의 점들을 구별하지 못하고 $x=0$인 경우도 처리할 수 없다. 계산에서는 두 입력으로 사분면을 구별하는 $\operatorname {atan2} (y,x)$ 함수를 이용하고 그 결과를 원하는 각도 범위에 맞추기도 한다. 원점에서는 방향각을 정할 수 없다.

공간에서도 원통좌표와 데카르트 좌표의 관계는

$x=\rho \cos \phi ,\qquad y=\rho \sin \phi$

로 나타나며, 높이 좌표 $z$는 그대로 사용한다. 앞서 정의한 구면좌표 관례에서는

$x=r\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=r\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=r\cos \theta$

이다. 이러한 식을 적용할 때에는 두 좌표계가 같은 원점과 기준축을 사용한다는 조건 및 각 기호의 정의를 확인한다.

원점과 축의 변경

 이 부분의 본문은 데카르트 좌표계입니다.

좌표계의 종류가 같아도 원점이나 축을 바꾸면 좌표값은 달라진다. 직선 위에서 새 원점을 기존 좌표가 $a$인 점으로 옮기고 방향과 단위를 유지하면, 같은 점의 새 좌표는

$x'=x-a$

가 된다. 예를 들어 좌표가 5인 점에 대하여 원점을 3만큼 양의 방향으로 옮기면 새 좌표는 2이다. 점의 위치는 그대로이고 그 위치를 재는 기준이 바뀐 것이다.

원점을 유지한 채 축의 방향을 바꾸어도 같은 점의 좌표는 달라진다. 이러한 좌표 표현의 변경은 점이나 물체 자체를 평행이동하거나 회전시키는 것과 구별한다. 같은 형태의 행렬을 사용하더라도 무엇을 변환하는지에 따라 해석이 달라진다.

변환이 가능한 영역

좌표 변환을 거꾸로 수행하려면 서로 대응하는 점과 좌표를 구별할 수 있어야 한다. 극좌표처럼 표현이 반복되는 경우에는 먼저 범위를 정해야 하고, 원점처럼 방향각이 정해지지 않는 곳에는 별도의 처리가 필요하다. 미적분에서 좌표를 매끄럽게 바꾸어 쓰려면 해당 영역에서 변환과 그 역변환이 모두 미분 가능한 조건도 중요하다.

여러 변수의 좌표 변환에서는 야코비 행렬의 행렬식이 국소적인 역변환 가능성을 판단하는 데 쓰인다. 역함수 정리에 따르면, 같은 차원의 좌표공간 사이의 변환이 연속 미분 가능하고 어떤 점에서 야코비 행렬식이 0이 아니면, 그 점 주변의 충분히 작은 영역에서 연속 미분 가능한 역변환을 얻을 수 있다. 극좌표에서 데카르트 좌표로 바꾸는 변환의 야코비 행렬식은 $r$이므로 원점에서 0이 된다. 다만 원점 밖에서도 각도의 주기성 때문에 전 영역에 대한 일대일 대응에는 범위 제한이 필요하다.

좌표를 이용한 기하학적 계산

도형과 방정식

 이 부분의 본문은 해석기하학입니다.

좌표를 정하면 도형을 그 도형에 속하는 점들의 좌표가 만족하는 관계로 나타낼 수 있다. 방정식으로 표현한 두 도형의 교점을 찾는 문제는 두 식을 동시에 만족하는 좌표를 구하는 문제로 바뀐다.

예를 들어 모든 축에 같은 길이 단위를 사용하는 데카르트 좌표계에서, 원점을 중심으로 하고 반지름이 $R>0$인 원은 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$로 표현된다. 같은 원점을 사용하고 반지름을 음이 아닌 값으로 정한 극좌표계에서는 같은 원을 $r=R$로 표현한다. 이처럼 방정식의 모양은 좌표계에 따라 달라지며, 도형의 대칭이나 경계에 맞는 좌표계를 선택하면 식과 계산이 간단해질 수 있다.

좌표를 붙이는 대상은 점에 한정되지 않는다. 예를 들어 평면의 직선 $ax+by+c=0$은 계수 $[a:b:c]$로 나타낼 수 있다. 여기서 $a,b$는 동시에 0이 아니어야 한다. 모든 계수에 0이 아닌 같은 수를 곱해도 직선이 달라지지 않으므로, 이때에도 비례하는 표현들을 같은 대상으로 취급한다.

좌표값과 거리

 이 부분의 본문은 길이 및 데카르트 좌표계입니다.

좌표값의 차이가 실제 거리와 어떻게 연결되는지는 좌표계와 각 축의 단위에 따라 달라진다. 같은 길이 단위를 사용하는 데카르트 좌표에서는 서로 수직인 축 방향의 좌표 차이로 거리를 계산하지만, 거리와 각도를 나타내는 좌표를 같은 종류의 길이처럼 취급할 수는 없다.

극좌표에서는 반지름과 각도가 서로 다른 종류의 양이므로 각 좌표값의 차이를 곧바로 길이로 해석할 수 없다. 반지름이 $r>0$인 원의 선택한 호를 따라 각도가 $\Delta \phi$만큼 변할 때, 그 호의 길이는 $r|\Delta \phi |$이다. 여기서 각도는 라디안으로 측정하며, 호의 길이는 두 점을 직선으로 잇는 선분의 길이와 구별된다.

넓이와 부피의 계산

 이 부분의 본문은 넓이 및 부피입니다.

좌표를 바꾸어 적분할 때에는 작은 좌표 구간이 실제로 나타내는 넓이나 부피도 고려한다. 데카르트 좌표의 면적 요소는 $dx\,dy$이지만, 반지름이 음이 아닌 극좌표의 면적 요소는

$dA=r\,dr\,d\phi$

이다. 같은 각도 구간이라도 원점에서 멀어질수록 원을 따라 차지하는 길이가 커지므로 $r$이라는 인자가 붙는다. 일반적인 변수 변환에서는 야코비 행렬식의 절댓값이 이러한 넓이·부피 변화의 인자를 제공한다.

좌표계를 적절히 선택하면 적분 영역을 표현하는 범위도 간단해진다. 예를 들어 반지름 $R$인 원판은 극좌표에서 $0\leq r\leq R$, $0\leq \phi <2\pi$로 나타낼 수 있다. 원통이나 구로 둘러싸인 공간 영역에는 각각 원통좌표와 구면좌표를 사용하는 것이 편리한 경우가 많다.

벡터와 일반적인 공간의 좌표

차원과 좌표의 수

데카르트 좌표계의 1·2·3차원 좌표를 일반화한 $n$차원의 실수 좌표공간에서는 점의 좌표를

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

으로 쓰며, 이러한 수의 묶음 전체를 $\mathbb {R} ^{n}$으로 나타낸다. 차원이 높아져도 좌표의 각 성분을 순서대로 구별한다는 원리는 같다.

다만 표현에 사용한 수의 개수가 언제나 대상의 차원과 같은 것은 아니다. 예를 들어 구면 위의 점은 공간의 세 좌표 $(x,y,z)$로 나타낼 수 있지만, 일정한 반지름의 구면이라는 조건 때문에 세 값이 독립적이지 않다. 구면의 작은 영역에서는 두 좌표만으로 위치를 나타낼 수 있다. 동차좌표나 중심좌표처럼 여분의 좌표를 쓰는 방식도 있으므로, 좌표의 수와 독립적으로 변할 수 있는 변수의 수를 구분한다.

점과 벡터 성분

 이 부분의 본문은 좌표 벡터입니다.

같은 벡터 $\mathbf {v}$도 검은색 기저 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$와 빨간색 기저 $\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}$에서 서로 다른 성분으로 표현된다. 기저를 바꾸어도 벡터 자체는 달라지지 않는다.

점의 좌표와 벡터의 성분은 관련되어 있지만 같은 개념은 아니다. 점의 좌표는 기준점에 대한 위치를 나타낸다. 벡터의 성분은 선택한 기저 벡터에 각각 수를 곱해서 더하는 선형 결합으로 그 벡터를 표현할 때의 계수이다. 원점과 데카르트 기저를 정하면 점의 좌표 $(x,y,z)$는 원점에서 그 점으로 향하는 위치 벡터의 성분과 일치한다. 원점을 바꾸면 점의 좌표는 바뀌지만, 같은 두 점 사이의 변위 벡터의 성분은 축과 단위를 그대로 둔 경우 바뀌지 않는다.

$n$차원 벡터공간에서는 기저 $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$을 정하면 모든 벡터 $\mathbf {v}$를

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}$

으로 유일하게 표현할 수 있으며, 계수들이 그 기저에 대한 좌표가 된다. 기저를 바꾸면 같은 벡터의 성분도 바뀐다. 이때 기저가 반드시 서로 수직이거나 길이가 1인 것은 아니므로, 좌표의 계산과 거리·각도의 계산에 필요한 조건은 구별한다.

곡선좌표에서는 좌표 방향의 기저가 위치에 따라 달라질 수 있다. 특히 극좌표의 점 표현 $(r,\phi )$를 그대로 벡터의 두 성분이라고 해석할 수는 없다. 원점이 아닌 점에서 반지름이 증가하는 방향과 각도가 증가하는 방향의 벡터를 각각 길이가 1인 단위벡터로 선택하면, 원점에서 그 점으로 향하는 위치 벡터는 반지름 방향의 성분 $r$만 갖는다.

국소 좌표와 다양체

 이 부분의 본문은 아틀라스 (다양체)입니다.

적도를 제외한 위쪽 반구를 평면의 열린 원판에 대응시키면 국소 좌표를 정할 수 있다.

평면의 데카르트 좌표계처럼 하나의 좌표 표현으로 전체 공간을 다룰 수 있는 경우도 있지만, 구면과 같은 공간에서는 전체를 하나의 좌표 차트로 표현할 수 없다. 구면의 위도·경도 표현에서 극점이나 경도 범위의 경계가 문제가 되는 것처럼, 공간의 일부에서는 다른 좌표 표현이 필요할 수 있다. 이때 작은 영역마다 좌표를 정하고 겹치는 영역에서 서로 변환하는 국소 좌표를 사용한다.

다양체 이론에서 좌표 차트는 공간의 열린 영역을 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 집합과 위상동형으로 대응시키는 좌표 표현이다. 여러 차트의 영역으로 공간 전체를 덮은 모음을 아틀라스라고 한다. 차트가 겹치는 곳에서는 한 차트의 좌표를 다른 차트의 좌표로 바꾸는 전이함수를 사용한다. 매끄러운 다양체에서는 이러한 전이함수들이 매끄럽게 호환되도록 하여 공간 위의 미적분을 정의한다.

활용

물리학과 역학

 이 부분의 본문은 기준틀 및 일반화 좌표입니다.

물리학에서는 좌표를 이용하여 위치·속도·힘 등을 표현한다. 좌표계와 기준틀은 서로 관련되지만 구별되는 개념이다. 같은 물리적 기준틀에서도 데카르트 좌표, 원통좌표, 구면좌표 등 서로 다른 좌표 표현을 선택할 수 있다. 좌표를 표현하는 방식을 바꾸는 것과 상대적으로 운동하는 다른 관찰자의 기준틀로 바꾸는 것은 같지 않다.

길이가 고정된 평면 진자의 위치는 두 좌표 $x,y$ 대신 각도 $q$ 하나로 나타낼 수 있다.

역학의 일반화 좌표는 반드시 공간의 거리 좌표일 필요가 없으며, 계의 배치를 정하는 변수로 선택한다. 예를 들어 길이가 고정된 평면 진자의 배치는 각도 하나로 나타낼 수 있다. 이러한 선택은 제약이 있는 계를 적은 변수로 기술하는 데 유용하다. 운동을 기술할 때에는 각도뿐 아니라 그 시간 변화율인 각속도도 함께 사용한다.

지리와 측량

 이 부분의 본문은 지리 좌표계, 측지계 및 지도 투영법입니다.

지구를 구로 근사했을 때의 위도 $\phi$와 경도 $\lambda$. 위도는 적도면을 기준으로, 경도는 기준 자오선을 기준으로 잰다. 이 그림의 $\phi$는 앞의 방위각이 아니라 위도를 뜻한다.

지구상의 위치는 위도와 경도로 나타내는 경우가 많다. 정밀한 위치 표현에서는 지구의 모양을 근사한 기준 타원체를 사용하며, 측지 위도는 타원체 표면에 수직인 법선이 적도면과 이루는 각으로 정의한다. 이는 지구 중심에서 점으로 향하는 방향으로 정의한 지심 위도와 일반적으로 다르다. 높이를 포함하는 지리 좌표에서는 타원체로부터 측정한 높이와 해수면 등을 기준으로 한 고도를 구별해야 한다.

지도에서는 지도 투영법으로 위도·경도를 평면상의 좌표로 바꾼다. 이 경우 좌표값뿐 아니라 사용한 투영법, 단위, 원점과 기준이 함께 정해져야 한다. 지구상의 위치를 나타내는 좌표 참조 체계에서는 수학적인 좌표계를 측지계 등의 기준을 통해 실제 지구에 연결한다. 따라서 지리 정보 시스템에서 서로 다른 자료를 겹쳐 보거나 좌표를 변환할 때에는 각 자료의 좌표 참조 체계를 확인한다.

컴퓨터 그래픽스와 로봇공학

꼭짓점의 빨강·초록·파랑을 중심좌표의 가중치로 보간한 삼각형.

컴퓨터 그래픽스에서는 표현할 대상과 연산에 따라 서로 다른 좌표 형식을 함께 사용한다. 동차좌표는 평행이동·회전·원근 투영 등을 행렬로 표현하고 합성하는 데 사용되며, 중심좌표는 삼각형 내부의 위치를 꼭짓점에 대한 가중치로 나타내어 색이나 다른 속성을 보간하는 데 쓰인다.

로봇공학에서도 로봇의 몸체·관절·도구에 부착한 좌표계와 작업 공간의 좌표계를 연결하여 위치와 자세를 계산한다. 한 좌표계에 대한 다른 좌표계의 위치는 그 원점의 좌표로, 자세는 축들의 방향 관계로 표현할 수 있다.

역사

 이 부분의 본문은 해석기하학 및 데카르트 좌표계입니다.

17세기의 르네 데카르트와 피에르 드 페르마는 서로 독립적으로 대수방정식과 기하학적 곡선을 연결하는 방법을 발전시켰다. 데카르트가 1637년에 출판한 《기하학》과 페르마의 연구는 해석기하학의 발전에 중요한 역할을 했으며, 좌표를 통해 기하학적 문제를 대수적으로 다루는 방법의 기초가 되었다.

이후 좌표를 통해 대수와 기하학을 연결하는 방법은 평면 곡선뿐 아니라 공간의 도형, 벡터, 더 일반적인 공간을 연구하는 도구가 되었다. 현대에는 다루는 대상과 계산 목적에 맞추어 여러 좌표 표현을 선택하며, 좌표를 바꾸어도 유지되는 기하학적 관계와 선택한 표현에 따라 달라지는 수식을 구분한다.

같이 보기

• 해석기하학
• 유클리드 공간
• 좌표 벡터
• 기준틀
• 아틀라스 (다양체)

참고 문헌

• Jay Abramson (2015). 《College Algebra》 (영어). OpenStax. 
• Gilbert Strang; Edwin Herman (2016). 《Calculus Volume 2》 (영어). OpenStax. 
• Gilbert Strang; Edwin Herman (2016). 《Calculus Volume 3》 (영어). OpenStax. 
• John M. Lee (2013). 《Introduction to Smooth Manifolds》 2판 (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8. 
• Moses Fayngold (2008). 《Special Relativity and How It Works》 (영어). Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40607-4. 
• Gerald Jay Sussman; Jack Wisdom (2015). 《Structure and Interpretation of Classical Mechanics》 2판 (영어). MIT Press. ISBN 978-0-262-02896-7. 
• Kevin M. Lynch; Frank C. Park (2017). 《Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15630-2. 
• Michael S. Mahoney (1971). 〈Fermat, Pierre de〉 (영어). 《Dictionary of Scientific Biography》 4. Charles Scribner's Sons. 566–576쪽. 

외부 링크

• 위키미디어 공용에 좌표계 관련 미디어 분류가 있습니다.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions — Coordinate Systems (영어)