호몰로지 대수학

호몰로지 대수학(homology代數學, 영어: homological algebra)은 사슬 복합체와 완전열을 바탕으로 호몰로지와 코호몰로지를 연구하는 수학의 한 분야이다. 대수적 위상수학에서 발전한 개념을 여러 대수적 대상에 적용하며, 유도 함자를 이용해 이들의 호몰로지와 코호몰로지를 정의하고 계산한다.

사슬 복합체는 가군과 그 사이의 사상을 차례로 이어 놓은 것으로, 연속한 두 사상의 합성이 0이라는 조건을 만족한다. 이 조건에 따라 각 자리에서 앞 사상의 상이 다음 사상의 핵에 포함된다. 그 핵을 상으로 나눈 몫이 호몰로지이다. 가군에서의 이 정의는 아벨 범주로 확장된다.

주요 도구로는 Ext 함자, Tor 함자, 스펙트럼 열, 유도 범주가 있다. 이들은 군, 환, 리 대수의 구조를 연구하는 데 쓰인다. 층 코호몰로지 역시 호몰로지 대수학의 방법으로 다루며, 대수기하학의 여러 문제에 적용한다.

기본 관점과 예

삼각형의 둘레는 세 꼭짓점과 세 변으로 이루어진 단체 복합체이다. 꼭짓점을 $a,b,c$라 하고, 세 변 $e_{ab},e_{bc},e_{ca}$의 방향을 각각 $a\to b$, $b\to c$, $c\to a$로 정한다. 꼭짓점과 변을 정수 계수로 더하고 뺄 수 있는 기호로 취급하면, 각 변의 경계는 끝점에서 시작점을 뺀 것으로 정의된다.

$\partial e_{ab}=b-a,\qquad \partial e_{bc}=c-b,\qquad \partial e_{ca}=a-c.$

세 변의 합 $z=e_{ab}+e_{bc}+e_{ca}$에는 $\partial z=0$이 성립한다. 이처럼 경계가 0인 사슬을 순환이라고 한다. 둘레만 있는 삼각형에는 면이 없으므로 $z$는 2차원 사슬의 경계가 될 수 없다. 이 삼각형의 정수 계수 1차 호몰로지는 $\mathbb {Z}$이고, $z$의 호몰로지류가 생성원이다.

삼각형의 내부를 채우면 면 $t$가 추가된다. 면의 방향을 맞추면 $\partial t=z$이므로, 순환 $z$는 이 면의 경계가 된다. 호몰로지에서는 차이가 경계인 두 순환을 같은 것으로 본다. 따라서 $z$는 0과 같은 호몰로지류를 나타내며, 내부를 채운 삼각형의 1차 호몰로지는 0이다.

이 예에서는 $\partial (\partial t)=0$, 즉 경계의 경계가 0이다. 호몰로지 대수학에서는 도형에서 얻은 사슬뿐 아니라, 같은 조건을 만족하는 가군과 사상의 열에도 호몰로지를 정의한다. 가군의 생성원과 그 사이의 관계를 기록하거나, 가군에 연산을 적용한 뒤 완전성이 유지되는지를 조사할 때에도 이러한 열을 사용한다.

사슬 복합체와 호몰로지

 이 부분의 본문은 사슬 복합체, 호몰로지 및 코호몰로지입니다.

정의

단위원을 가진 가환환 $R$ 위의 사슬 복합체는 가군 $C_{n}$과 준동형 $d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$을 다음과 같이 배열한 것이다.

$\cdots \longrightarrow C_{n+1}\xrightarrow {d_{n+1}} C_{n}\xrightarrow {d_{n}} C_{n-1}\longrightarrow \cdots$

모든 정수 $n$에 대해 $d_{n}\circ d_{n+1}=0$을 만족해야 하며, $d_{n}$을 경계 사상 또는 미분이라고 한다. $R=\mathbb {Z}$이면 각 가군은 아벨 군이다.

$n$차 순환 가군과 경계 가군을 각각

$Z_{n}(C)=\ker d_{n},\qquad B_{n}(C)=\operatorname {im} d_{n+1}$

으로 정의한다. 연속한 두 미분의 합성이 0이므로 $B_{n}(C)\subseteq Z_{n}(C)$이다. 호몰로지는 이 두 가군으로부터 얻는 몫가군

$H_{n}(C)=Z_{n}(C)/B_{n}(C)$

이다. 두 순환의 차이가 경계이면 같은 호몰로지류를 나타낸다. 모든 차수에서 호몰로지가 0인 복합체를 비순환 복합체라고 한다. 비순환 복합체에서는 모든 순환이 경계이다.

공사슬 복합체에서는 미분이 차수를 하나 높인다. 미분을 $d^{n}:C^{n}\to C^{n+1}$로 쓰면 $d^{n+1}d^{n}=0$을 만족하며, 코호몰로지는

$H^{n}(C)=\ker d^{n}/\operatorname {im} d^{n-1}$

으로 정의한다.

사상과 호모토피

두 사슬 복합체 $C,D$ 사이의 사슬 사상 $f$는 각 차수의 사상 $f_{n}:C_{n}\to D_{n}$으로 이루어진다. 이 사상들은 미분과 교환해야 한다. 즉 모든 차수에서 다음 등식이 성립한다.

$d_{n}^{D}f_{n}=f_{n-1}d_{n}^{C}$

사슬 사상은 순환과 경계를 각각 보존하므로 호몰로지 사이의 사상 $H_{n}(f):H_{n}(C)\to H_{n}(D)$를 유도한다. 복합체에 호몰로지를, 사슬 사상에 그 유도 사상을 대응시키면 하나의 함자를 얻는다.

두 사슬 사상 $f,g:C\to D$ 사이의 사슬 호모토피는 모든 차수에서

$f_{n}-g_{n}=d_{n+1}^{D}h_{n}+h_{n-1}d_{n}^{C}$

을 만족하는 사상 $h_{n}:C_{n}\to D_{n+1}$들로 이루어진다. 순환 $z$에 대해서는 $f(z)-g(z)$가 경계이므로, $f$와 $g$는 호몰로지에서 같은 사상을 유도한다. 사슬 사상 $f$가 모든 차수의 호몰로지에서 동형을 유도하면, 즉 모든 $H_{n}(f)$가 동형이면 $f$를 유사동형이라고 한다. 한편 $f:C\to D$에 대해 $g:D\to C$가 존재하고, $gf$와 $fg$가 각각 항등사상과 사슬 호모토피로 연결되면 $f$를 사슬 호모토피 동치라고 한다. 사슬 호모토피 동치는 모두 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

가군 대신 아벨 범주의 대상을 사용해도 핵, 여핵과 몫을 이용하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 아벨 군의 범주, 한 환 위의 가군 범주, 고정된 위상 공간 위의 아벨 군 값을 갖는 층의 범주가 이에 해당한다.

완전열과 연결 사상

 이 부분의 본문은 완전열 및 뱀 완전열입니다.

뱀 보조정리의 가환 그림. 가운데 두 행이 완전하면, 세로 사상들의 핵과 여핵은 연결 사상 $d:\ker c\to \operatorname {coker} a$를 포함하는 완전열을 이룬다.

가군과 사상의 열 $A\xrightarrow {i} B\xrightarrow {p} C$가 $B$에서 완전하다는 것은 $\operatorname {im} i=\ker p$라는 뜻이다. 복합체의 호몰로지가 0이라는 조건도 그 차수에서 열이 완전하다는 뜻이다. 특히 짧은 완전열

$0\longrightarrow A\xrightarrow {i} B\xrightarrow {p} C\longrightarrow 0$

에서는 $i$가 단사이고 $p$가 전사이며, $C\cong B/i(A)$이다. 즉 $A$를 $B$의 부분가군으로 보면 $C$는 그 몫가군이다.

$p\circ s=\operatorname {id} _{C}$를 만족하는 가군 준동형 $s:C\to B$가 있으면 이 열은 분할된다고 한다. 이때 $B$와 $A\oplus C$ 사이에는 $i$와 $p$를 각각 직합의 포함 사상과 사영 사상에 대응시키는 동형이 존재한다. 모든 짧은 완전열이 이렇게 분할되는 것은 아니다.

복합체의 짧은 완전열 $0\to A_{\bullet }\xrightarrow {i} B_{\bullet }\xrightarrow {p} C_{\bullet }\to 0$은 사슬 사상으로 이어져 있고 각 차수에서 완전한 열이다. 여기에 호몰로지를 취하면 일반적으로 짧은 완전열은 유지되지 않는다. 각 차수의 호몰로지는 차수를 하나 낮추는 연결 사상 $\delta _{n}$을 통해 다음과 같은 긴 완전열로 이어진다.

$\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\longrightarrow H_{n}(B)\longrightarrow H_{n}(C)\xrightarrow {\delta _{n}} H_{n-1}(A)\longrightarrow H_{n-1}(B)\longrightarrow \cdots .$

가군 복합체의 연결 사상은 다음과 같이 정의한다. $C_{n}$의 순환 $c$에 대해 $p_{n}(b)=c$인 $b\in B_{n}$을 택한다. $p_{n-1}(d_{B}b)=0$이므로, 완전성에 따라 $i_{n-1}(a)=d_{B}b$인 $a\in A_{n-1}$이 유일하게 존재한다. 이때 $a$는 순환이다. 연결 사상을 $\delta _{n}[c]=[a]$로 정의하면, $b$나 호몰로지류의 대표원 $c$를 달리 골라도 $[a]$는 바뀌지 않는다. 이 호몰로지류가 0이면 $c$를 $B$의 순환으로 올릴 수 있다.

이 긴 완전열은 뱀 보조정리로도 얻을 수 있다. 위 행이 $A\to B\to C\to 0$, 아래 행이 $0\to A'\to B'\to C'$인 두 완전열이 가환 그림을 이루면, 뱀 보조정리는 세로 사상들의 핵과 여핵을 하나의 완전열로 연결한다. 공사슬 복합체에서도 긴 완전열을 얻으며, 이 경우 연결 사상 $H^{n}(C)\to H^{n+1}(A)$은 차수를 하나 높인다.

분해와 유도 함자

 이 부분의 본문은 분해 (대수학) 및 유도 함자입니다.

사영 분해와 단사 분해

가군 $P$가 사영 가군이라는 것은 다음 조건을 만족한다는 뜻이다. 전사 준동형 $u:B\to C$와 사상 $f:P\to C$가 주어지면, $u{\widetilde {f}}=f$를 만족하는 사상 ${\widetilde {f}}:P\to B$가 항상 존재한다. 가군 $M$의 사영 분해는 사영 가군 $P_{n}$들로 이루어진 완전열

$\cdots \longrightarrow P_{2}\longrightarrow P_{1}\longrightarrow P_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

이다. 모든 가군은 자유 가군의 몫으로 나타낼 수 있다. 이때 생기는 전사상의 핵도 자유 가군의 몫으로 나타내고, 같은 과정을 반복하면 자유 분해가 된다. 자유 가군은 사영 가군이므로 자유 분해는 사영 분해이기도 하다.

단사 가군은 사영 가군에 쌍대적인 개념이다. 부분가군에서 단사 가군으로 가는 사상은 원래 가군 전체에 정의된 사상으로 연장할 수 있다. 가군 $M$의 단사 분해는 단사 가군 $I^{n}$들로 이루어진 완전열

$0\longrightarrow M\longrightarrow I^{0}\longrightarrow I^{1}\longrightarrow I^{2}\longrightarrow \cdots$

이다. 모든 가군은 사영 분해와 단사 분해를 갖는다. 일반적인 아벨 범주에서 이러한 분해가 존재하려면 별도의 조건이 필요하다. 모든 대상을 사영 대상의 몫으로 나타낼 수 있는 범주는 충분한 사영 대상을 갖는다고 한다. 마찬가지로 모든 대상을 단사 대상의 부분대상으로 나타낼 수 있는 범주는 충분한 단사 대상을 갖는다고 한다.

같은 가군의 사영 분해는 여러 가지일 수 있지만, 이들은 서로 사슬 호모토피 동치이다. 단사 분해에도 쌍대적인 결과가 성립한다. 분해에 가법 함자를 적용하고 호몰로지나 코호몰로지를 취하면, 분해를 달리 선택하더라도 서로 자연 동형인 함자를 얻는다.

좌유도 함자와 우유도 함자

아벨 범주 사이의 가법 함자 $F$가 우완전이면, 짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to 0$에 이를 적용하여 얻은 $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$도 완전열이다. 정의역 범주에 충분한 사영 대상이 있으면, 사영 분해를 이용해 $F$의 좌유도 함자를 정의할 수 있다. $M$의 사영 분해에서 마지막 $M$ 항을 뺀 복합체 $P_{\bullet }$에 $F$를 적용한 뒤 호몰로지를 취하면

$L_{n}F(M)=H_{n}(F(P_{\bullet }))\qquad (n\geq 0)$

이다. 0차에서는 $L_{0}F\cong F$이고, 사영 대상에 대한 양의 차수의 좌유도 함자 값은 모두 0이다. 짧은 완전열에 좌유도 함자들을 적용하면 긴 완전열로 이어진다.

가법 함자 $G$가 좌완전이면, 같은 짧은 완전열에서 $0\to G(A)\to G(B)\to G(C)$가 완전열이 된다. 정의역 범주에 충분한 단사 대상이 있을 때는 단사 분해를 이용한다. $M$의 단사 분해에서 첫 $M$ 항을 뺀 공사슬 복합체 $I^{\bullet }$에 $G$를 적용하고 코호몰로지를 취하여 우유도 함자를

$R^{n}G(M)=H^{n}(G(I^{\bullet }))\qquad (n\geq 0)$

으로 정의한다. 0차에서는 $R^{0}G\cong G$이며, 단사 대상에 대한 양의 차수의 우유도 함자 값은 모두 0이다. 우유도 함자들도 짧은 완전열에 대응하는 긴 완전열을 이룬다.

Ext와 Tor

 이 부분의 본문은 Ext 함자 및 Tor 함자입니다.

텐서곱과 Tor

텐서곱 함자 $-\otimes _{R}N$은 우완전이지만 단사 사상을 항상 단사 사상으로 보내지는 않는다. 예를 들어 단사 사상 $\mathbb {Z} \xrightarrow {\times 2} \mathbb {Z}$에 $-\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$를 적용하면 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$에서 자신으로 가는 영사상이 된다. 이 텐서곱 함자의 좌유도 함자가 Tor이다. $M$의 사영 분해 $P_{\bullet }$를 사용하면

$\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)=H_{n}(P_{\bullet }\otimes _{R}N)$

으로 계산한다. 특히 0차에서는 $\operatorname {Tor} _{0}^{R}(M,N)\cong M\otimes _{R}N$이다.

짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to 0$에서 얻는 Tor의 긴 완전열은

$\operatorname {Tor} _{1}^{R}(B,N)\longrightarrow \operatorname {Tor} _{1}^{R}(C,N)\longrightarrow A\otimes _{R}N\longrightarrow B\otimes _{R}N\longrightarrow C\otimes _{R}N\longrightarrow 0$

으로 끝난다. 따라서 $A\otimes _{R}N\to B\otimes _{R}N$이 단사가 아니면, 그 핵을 앞선 Tor 항에서 오는 사상의 상으로 구할 수 있다. $N$이 평탄 가군일 때는 텐서곱 함자가 완전하다. 이는 모든 $M$에 대해 $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0$이라는 조건과 동치이다. Tor는 두 변수에 대해 공변이며, 가환환에서는 두 변수를 바꾸어도 자연 동형인 함자를 얻는다.

Hom과 Ext

가군 $M$을 고정하면, 준동형 가군 $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$을 $N$의 함자로 볼 수 있다. 이 함자는 좌완전이며, 그 우유도 함자를 Ext라고 한다. Ext는 $N$의 단사 분해 $I^{\bullet }$나 $M$의 사영 분해 $P_{\bullet }$ 중 어느 쪽으로도 계산할 수 있다.

$\operatorname {Ext} _{R}^{n}(M,N)\cong H^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(M,I^{\bullet }))\cong H^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(P_{\bullet },N))$

0차에서는 $\operatorname {Ext} _{R}^{0}(M,N)\cong \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$이다. Ext는 첫 번째 변수에 대해 반변이고 두 번째 변수에 대해 공변이다.

Ext 함자의 1차 항은 짧은 완전열을 분류한다. $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(M,N)$의 각 원소에는

$0\longrightarrow N\longrightarrow E\longrightarrow M\longrightarrow 0$

꼴의 확대의 동치류가 하나씩 대응한다. 두 확대 사이에서 양끝의 $N,M$에는 항등사상을, 가운데 항에는 동형사상을 놓아 가환 도표를 만들 수 있으면 두 확대는 동치이다. 영원소에 대응하는 확대는 분할된다. 따라서 $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(M,N)=0$이면 양끝이 $N,M$인 모든 짧은 완전열이 분할된다.

정수 가군의 계산

양의 정수 $m$에 대해 순환군 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$는 다음 자유 분해를 갖는다.

$0\longrightarrow \mathbb {Z} \xrightarrow {\times m} \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \longrightarrow 0.$

두 자유 가군과 그 사이의 사상에 아벨 군 $A$와의 텐서곱을 적용하면 $A\xrightarrow {\times m} A$가 된다. 이 사슬 복합체의 1차 호몰로지는 곱셈 사상의 핵이므로

$\operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,A)\cong A[m],\qquad A[m]=\{a\in A:ma=0\}$

이다. 같은 분해에 $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(-,A)$를 적용하면 사상의 방향이 바뀌어 공사슬 복합체가 된다. 이때 1차 코호몰로지는 곱셈 사상의 여핵이므로

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,A)\cong A/mA.$

두 경우 모두 2차 이상의 항은 0이다. 특히 $A=\mathbb {Z}$이면 Tor의 1차 항은 0이고, Ext의 1차 항은 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$이다.

$m=2$, $A=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$이면 $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$이다. 확대의 동치류도 두 개이다. 하나는 가운데 군이 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$인 분할 확대이고, 다른 하나는

$0\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \xrightarrow {[a]\mapsto [2a]} \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \xrightarrow {[b]\mapsto [b]} \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0$

이다. 이 두 번째 확대는 분할되지 않으며, Ext의 영이 아닌 원소에 대응한다.

스펙트럼 열

 이 부분의 본문은 스펙트럼 열입니다.

스펙트럼 열은 복합체의 호몰로지를 여러 단계에 걸쳐 계산하는 도구이다. 각 단계에는 대상 $E_{r}^{p,q}$와 미분 $d_{r}$이 있고, $d_{r}^{2}=0$이 성립한다. 한 단계의 코호몰로지를 취하면 다음 단계가 된다. 공사슬 표기에서는

$d_{r}:E_{r}^{p,q}\longrightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1},\qquad E_{r+1}^{p,q}={\frac {\ker d_{r}^{p,q}}{\operatorname {im} d_{r}^{p-r,q+r-1}}}$

이다.

스펙트럼 열을 만드는 대표적인 방법은 복합체의 여과를 이용하는 것이다. 각 $C^{n}$의 부분가군들이 $F^{p+1}C^{n}\subseteq F^{p}C^{n}$과 같이 감소하고 미분이 이 여과를 보존하면, 여과의 몫들로 스펙트럼 열을 구성할 수 있다. 각 차수의 여과가 전체 가군에서 시작해 유한 단계 뒤에 0이 되면, 충분히 뒤에서 더 이상 바뀌지 않는 항은

$E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}(C)/F^{p+1}H^{p+q}(C)$

이다. 이 극한 항은 코호몰로지 가군 자체가 아니라 여과의 각 몫가군을 나타낸다. 몫가군들만으로 원래 가군이 결정되지 않는 경우에는 확대를 더 조사해야 한다.

이중 복합체에서도 스펙트럼 열을 구성할 수 있다. 가군 $C^{p,q}$에 가로·세로 미분 $d_{h},d_{v}$가 주어져 있고 두 미분이 서로 교환하면, 총차수 $p+q$가 같은 항들을 모아 다음 복합체를 만든다.

$\operatorname {Tot} (C)^{n}=\bigoplus _{p+q=n}C^{p,q},\qquad d{\big |}_{C^{p,q}}=d_{h}+(-1)^{p}d_{v}$

이 부호를 넣으면 $d^{2}=0$이 성립한다.

$p,q\geq 0$인 항만 있는 첫사분면 이중 복합체에서, 세로 방향의 코호몰로지를 취한 뒤 가로 방향의 코호몰로지를 취하면 다음 스펙트럼 열의 두 번째 단계를 얻는다.

$E_{2}^{p,q}=H_{h}^{p}(H_{v}^{q}(C))\Longrightarrow H^{p+q}(\operatorname {Tot} (C))$

가로·세로의 계산 순서를 바꾸어 얻는 스펙트럼 열도 같은 복합체의 코호몰로지로 수렴한다.

유도 범주

 이 부분의 본문은 유도 범주입니다.

 삼각 분할 범주 문서를 참고하십시오.

유도 범주에서는 유사동형을 가역 사상으로 다룬다. 먼저 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$의 공사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주 $K({\mathcal {A}})$를 구성한다. 여기에 모든 유사동형의 역사상을 형식적으로 추가하면 유도 범주 $D({\mathcal {A}})$가 된다. 예를 들어 가군 $M$을 0차에만 놓인 복합체로 보면, 사영 분해를 0 이하의 공사슬 차수에 놓아 얻은 복합체는 $M$과 유도 범주에서 동형이다. 다만 각 차수의 호몰로지 가군이 서로 동형이라는 조건만으로 두 복합체가 유도 범주에서 동형이라고 할 수는 없다.

유도 범주는 삼각 분할 범주이다. 복합체 사이의 사상 $f:C\to D$와 그 사상뿔 $\operatorname {Cone} (f)$는 다음 삼각형을 이룬다.

$C\xrightarrow {f} D\longrightarrow \operatorname {Cone} (f)\longrightarrow C[1]$

여기서 $C[1]^{n}=C^{n+1}$이며, 차수를 이동한 복합체의 미분에는 음의 부호를 붙인다. 이 삼각형에 코호몰로지를 취하면 긴 완전열을 얻는다. 가군이나 복합체의 짧은 완전열도 유도 범주에서는 이러한 삼각형으로 나타낼 수 있다.

유도 범주를 이용하면 복합체에 작용하는 유도 함자를 정의할 수 있다. 유도 텐서곱 $M\otimes _{R}^{\mathbf {L} }N$과 유도 Hom $\mathbf {R} \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$이 그 예이다. $M,N$이 0차에 놓인 가군이고 $n\geq 0$이면

$H^{-n}(M\otimes _{R}^{\mathbf {L} }N)\cong \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N),\qquad H^{n}(\mathbf {R} \operatorname {Hom} _{R}(M,N))\cong \operatorname {Ext} _{R}^{n}(M,N)$

이다. Tor의 차수에 음의 부호가 붙는 것은 사영 분해를 0 이하의 공사슬 차수에 놓았기 때문이다.

응용

대수적 위상수학

 보편 계수 정리 및 퀴네트 정리 문서를 참고하십시오.

대수적 위상수학의 보편 계수 정리는 정수 계수 호몰로지를 이용해 다른 계수의 코호몰로지를 계산하는 정리이다. 위상 공간 $X$와 아벨 군 $A$에 대해 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전열이 성립한다.

$0\longrightarrow \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),A)\longrightarrow H^{n}(X;A)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{n}(X;\mathbb {Z} ),A)\longrightarrow 0.$

이 완전열에는 분할이 존재하지만, 그 분할은 일반적으로 자연스럽지 않다. Ext 항은 Hom 항만으로는 알 수 없는 코호몰로지 정보를 나타낸다.

퀴네트 정리를 이용하면 두 공간의 호몰로지로부터 곱공간의 호몰로지를 구할 수 있다. 두 CW 복합체 $X,Y$와 체 $k$에 대해서는 다음 동형이 성립한다.

$H_{n}(X\times Y;k)\cong \bigoplus _{p+q=n}H_{p}(X;k)\otimes _{k}H_{q}(Y;k)$

정수 계수로 계산할 때는 일반적으로 텐서곱 항만으로 충분하지 않다. 이 경우에는 텐서곱 항과 Tor 항이 함께 들어가는 짧은 완전열을 사용한다.

가환대수학

 호몰로지 차원 및 코쥘 복합체 문서를 참고하십시오.

가환대수학에서 자유 분해의 첫 항은 가군의 생성원을 나타낸다. 뒤따르는 항들은 생성원 사이의 관계, 그 관계들 사이의 관계를 차례로 나타낸다. 가군의 사영 차원은 사영 분해 길이의 최솟값이며, 유한한 사영 분해가 없으면 무한대로 정한다. 다항식 가군의 분해에 관한 힐베르트의 정리에 따르면, 체 $k$ 위의 다항식환 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$의 모든 유한 생성 차수 가군에는 유한 생성 자유 가군들로 이루어진 길이 $n$ 이하의 분해가 존재한다.

예를 들어 $R=k[x,y]$에서 $k\cong R/(x,y)$를 $R$-가군으로 보면 다음과 같은 자유 분해를 얻는다.

$0\longrightarrow R\xrightarrow {c\mapsto (-yc,xc)} R^{2}\xrightarrow {(a,b)\mapsto xa+yb} R\longrightarrow k\longrightarrow 0$

가운데 두 사상을 합성하면 $x(-yc)+y(xc)=0$이 된다. 또한 관계 $xa+yb=0$은 모두 $(a,b)=(-yc,xc)$ 꼴로 표현된다. 이 분해는 코쥘 복합체의 예이다. 유한한 정칙열로 코쥘 복합체를 만들면, 그 정칙열이 생성하는 아이디얼에 대한 몫환의 자유 분해를 얻는다.

군 코호몰로지

 이 부분의 본문은 군 코호몰로지입니다.

군 $G$가 아벨 군 $M$에 덧셈을 보존하며 작용하면, $M$은 군환 $\mathbb {Z} [G]$의 왼쪽 가군이 된다. 이때 군 코호몰로지는 다음과 같이 Ext로 표현된다.

$H^{n}(G,M)\cong \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)$

여기서 $\mathbb {Z}$에는 자명한 $G$-작용을 준다. 0차 코호몰로지는 모든 군 원소의 작용에 불변인 원소들로 이루어진 가군 $M^{G}$이다. 군 코호몰로지는 가군을 그 불변 부분가군에 대응시키는 함자의 우유도 함자이다.

정수환 위에서와 달리, 군환 위에서는 무한히 많은 차수에서 0이 아닌 코호몰로지가 나타날 수 있다. 위수가 $m$인 순환군 $C_{m}$의 코호몰로지는 군환 위의 주기적인 자유 분해로 계산한다. 자명한 정수 계수에서는 $H^{0}(C_{m},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$이고, 양의 짝수 차수의 코호몰로지는 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$, 홀수 차수의 코호몰로지는 0이다.

층과 대수기하학

 이 부분의 본문은 층 코호몰로지입니다.

층은 열린집합마다 주어지는 대수적 정보를 제한 사상으로 서로 연결한다. 위상 공간 $X$ 위에 아벨 군의 층 ${\mathcal {F}}$가 주어지면, 전역단면 함자 $\Gamma (X,-)$의 우유도 함자로 층 코호몰로지를 정의한다. 아벨 군의 층 범주에는 충분한 단사 대상이 있으므로 단사 분해 ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {I}}^{\bullet }$를 택할 수 있다. 이 분해에 전역단면 함자를 적용하여 코호몰로지를 계산한다.

$H^{n}(X,{\mathcal {F}})=H^{n}(\Gamma (X,{\mathcal {I}}^{\bullet }))$

이 정의는 환 달린 공간의 가군 층에도 적용된다. 대수기하학에서는 이 방법으로 구조층과 가군 층을 연구한다.

층 코호몰로지는 국소적으로 가능한 구성을 전역적으로도 할 수 있는지 조사하는 데 쓰인다. 층의 짧은 완전열에 전역단면 함자를 적용하면 오른쪽에서 완전성이 깨질 수 있다. 예를 들어 $0\to {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}\to {\mathcal {H}}\to 0$에서 얻는 연결 사상 $\Gamma (X,{\mathcal {H}})\to H^{1}(X,{\mathcal {F}})$은 전역단면을 올릴 수 있는지를 판별한다. ${\mathcal {H}}$의 전역단면이 이 사상에 의해 0으로 보내지면 ${\mathcal {G}}$의 전역단면으로 올릴 수 있으며, 역도 성립한다.

역사

호몰로지 대수학은 대수적 위상수학과 가환대수학의 연구에서 발전했다. 19세기에 앙리 푸앵카레 등은 공간의 호몰로지 불변량을 연구했다. 한편 다비트 힐베르트는 다항식 가군의 생성원과 관계에 관한 연구에서 자유 분해의 초기 형태를 다루었다. 1925년 에미 뇌터는 호몰로지를 수치 불변량으로만 나타내기보다 아벨 군의 구조로 파악하는 관점을 강조했다. 이후 사슬 복합체와 호몰로지의 대수적 이론이 정비되었으며, 1940년대에는 군·리 대수·결합 대수에서도 코호몰로지 이론이 발전했다.

1956년 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크는 저서 《Homological Algebra》에서 서로 별개로 발전한 호몰로지 이론을 사영·단사 분해와 유도 함자로 체계화했다. 텐서곱에서 Tor를, Hom에서 Ext를 구성하여 여러 호몰로지 이론을 가군 이론 안에서 다루었다. 이듬해 알렉산더 그로텐디크는 논문 〈Sur quelques points d’algèbre homologique〉에서 가군과 층의 범주를 함께 다루기 위해 아벨 범주에서 유도 함자 이론을 전개하고, 이를 층 코호몰로지에 적용했다.

1960년대에는 그로텐디크와 장루이 베르디에의 연구로 유도 범주가 발전했다. 복합체의 유사동형을 동형사상으로 취급하면서, 유도 함자와 쌍대성 이론을 복합체 수준에서 다룰 수 있게 되었다. 이후 가환대수학에서는 환과 가군을, 대수기하학에서는 층을 연구하는 데 호몰로지 대수학의 방법을 널리 사용했다.

같이 보기

• 범주론
• 5항 보조정리
• 드람 코호몰로지
• 호흐실트 호몰로지
• 갈루아 코호몰로지

참고 문헌

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