Viscosidade

Viscosidade
Info/Grandeza física Simulação de líquidos com viscosidades diferentes. O líquido à esquerda tem viscosidade menor que o líquido à direita.
Símbolos	$\eta$, $\mu$
Unidade no SI	Pa·s
Outras unidades	P, cP
Em unidades de base do SI	kg·m−1·s−1
Dimensão	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {T}}^{-1}$

Na mecânica de meios contínuos, viscosidade é uma propriedade de um fluido que quantifica a resistência ao movimento relativo entre parcelas de fluido. Essa resistência decorre das tensões no fluido e, para um fluido newtoniano, é proporcional à taxa de deformação, isto é, à taxa com que elementos do fluido mudam de forma. Nos líquidos, a viscosidade depende das interações intermoleculares entre moléculas próximas. Nos gases diluídos, o transporte de quantidade de movimento ocorre principalmente pelo movimento molecular e pelas colisões entre moléculas.

Nos líquidos, a viscosidade corresponde aproximadamente à ideia informal de "espessura". O xarope, por exemplo, tem viscosidade maior que a água. Em termos dimensionais, a viscosidade dinâmica é dada por força multiplicada por tempo e dividida por área. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades é o newton-segundo por metro quadrado, equivalente ao pascal segundo.

Quando um fluido viscoso é forçado através de um tubo, ele escoa mais rapidamente próximo ao eixo central que junto às paredes. Uma diferença de pressão entre as extremidades do tubo pode sustentar esse escoamento. A viscosidade relaciona as tensões internas do fluido aos gradientes de velocidade que surgem entre suas camadas.

A viscosidade depende do estado do fluido, incluindo temperatura e pressão. Em materiais não newtonianos, também pode depender da taxa e da história da deformação. Para um fluido newtoniano, por definição, a viscosidade de cisalhamento não depende da taxa de cisalhamento dentro da faixa de condições em que o comportamento newtoniano é válido.

Para fluidos passivos próximos do equilíbrio, os coeficientes viscosos associados à dissipação devem ser não negativos para que a produção de entropia seja compatível com a segunda lei da termodinâmica. No modelo de dois fluidos da superfluidez, a componente superfluida é invíscida, enquanto a componente normal possui viscosidade finita. Um fluido idealizado cuja viscosidade é tomada como zero é chamado de ideal ou invíscido.

Entre os fluidos não newtonianos, há escoamentos pseudoplásticos, plásticos e dilatantes cuja resposta pode ser descrita sem dependência explícita do tempo, e escoamentos tixotrópicos e reopéticos cuja resposta depende do tempo.

Etimologia

A palavra "viscosidade" deriva do latim viscum, "erva-de-passarinho". Viscum também designava uma cola viscosa produzida com bagas de erva-de-passarinho.

Definições

Viscosidade dinâmica

Ilustração de um escoamento de Couette plano. Como o escoamento de cisalhamento é resistido pelas tensões viscosas entre camadas adjacentes de fluido em movimento relativo, é necessária uma força para manter o movimento da placa superior.

Em um escoamento paralelo de um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade.

Na ciência dos materiais e na engenharia, interessa muitas vezes conhecer as forças ou tensões envolvidas na deformação de um material. Se o material fosse uma mola simples, por exemplo, a resposta seria dada pela lei de Hooke, segundo a qual a força exercida sobre a mola é proporcional ao deslocamento em relação ao equilíbrio. Tensões atribuíveis à deformação de um material em relação a algum estado de repouso são chamadas de tensões elásticas. Em outros materiais, há tensões relacionadas à rapidez com que a deformação ocorre. Elas são chamadas de tensões viscosas. Em um fluido como a água, as tensões produzidas pelo cisalhamento não dependem de quanto o fluido já foi cisalhado, mas da taxa com que o cisalhamento ocorre.

A viscosidade é a propriedade do material que relaciona suas tensões viscosas à taxa de deformação. Embora a definição se aplique a escoamentos gerais, ela pode ser visualizada com facilidade em um escoamento de cisalhamento simples, como o escoamento de Couette plano.

Nesse escoamento, um fluido fica confinado entre duas placas idealmente infinitas. Uma permanece fixa e a outra move-se paralelamente com velocidade constante $u$. Se as condições permitirem um escoamento laminar permanente, as partículas do fluido movem-se paralelamente às placas. Para um fluido newtoniano com propriedades constantes, sem gradiente de pressão e com a condição usual de não deslizamento nas paredes, a velocidade varia linearmente de zero na placa inferior a $u$ na superior.

A magnitude da força $F$ necessária para manter a placa superior em movimento é proporcional à velocidade $u$ e à área $A$ da placa, e inversamente proporcional à separação $y$ entre as placas:

$F=\mu A{\frac {u}{y}}.$

O fator de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica do fluido, muitas vezes chamada simplesmente de viscosidade. Ela é normalmente representada pela letra grega mu, $\mu$. A viscosidade dinâmica tem dimensão de massa por comprimento e por tempo:

$[\mu ]={\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} }}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}\cdot \mathrm {s} =\mathrm {Pa} \cdot \mathrm {s} .$

A razão $u/y$ é a taxa de cisalhamento para esse perfil linear. Se a velocidade variar de maneira não linear com $y$, a forma local para um fluido newtoniano é

$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},$

em que $\tau =F/A$ é a tensão de cisalhamento e $\partial u/\partial y$ é a taxa local de cisalhamento. Essa expressão é conhecida como lei de Newton da viscosidade. A IUPAC define a viscosidade dinâmica, em escoamento laminar, como a razão entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade perpendicular ao plano de cisalhamento.

O uso da letra grega mu, $\mu$, para a viscosidade dinâmica, às vezes chamada de viscosidade absoluta, é comum entre engenheiros mecânicos, engenheiros químicos, matemáticos e físicos. A letra grega eta, $\eta$, também é usada por químicos e físicos. $\mu$ também recebe, às vezes, o nome de viscosidade de cisalhamento. Pelo menos um autor desaconselha essa terminologia para $\mu$, pois o coeficiente também pode entrar em escoamentos que não sejam cisalhamentos simples.

Viscosidade cinemática

Na dinâmica dos fluidos, pode ser mais conveniente trabalhar com a viscosidade cinemática, também chamada de difusividade de quantidade de movimento. Ela é definida como a razão entre a viscosidade dinâmica, $\mu$, e a densidade do fluido, $\rho$. Costuma ser representada pela letra grega nu, $\nu$:

$\nu ={\frac {\mu }{\rho }}.$

Sua dimensão é comprimento ao quadrado dividido por tempo:

$[\nu ]={\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}={\frac {\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {kg} }}\cdot \mathrm {s} ={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {kg} }}\cdot \mathrm {s} .$

A viscosidade cinemática aparece diretamente no número de Reynolds, que compara efeitos de inércia e viscosidade em um escoamento:

$\mathrm {Re} ={\frac {\rho UL}{\mu }}={\frac {UL}{\nu }},$

em que $U$ e $L$ são uma velocidade e um comprimento característicos do escoamento.

Definição geral

As tensões viscosas de um fluido podem ser reunidas no tensor de tensões viscosas. A resposta dissipativa à compressão ou expansão sem cisalhamento é caracterizada pela viscosidade volumétrica.

Em termos gerais, as tensões viscosas resultam do movimento relativo entre partes de um fluido e, por isso, dependem de gradientes espaciais da velocidade. Quando esses gradientes são suficientemente pequenos, a relação pode ser linearizada nas primeiras derivadas da velocidade. Em coordenadas cartesianas,

$\tau _{ij}=\sum _{k}\sum _{\ell }\mu _{ijk\ell }{\frac {\partial v_{k}}{\partial r_{\ell }}},$

em que $\mu _{ijk\ell }$ é um tensor de viscosidade de quarta ordem que transforma o gradiente de velocidade $\partial v_{k}/\partial r_{\ell }$ no tensor de tensões viscosas $\tau _{ij}$. Como cada índice pode assumir três valores, um tensor de quarta ordem geral possui 81 componentes.

Para um fluido isotrópico, a forma do tensor é restringida a

$\mu _{ijk\ell }=\alpha \delta _{ij}\delta _{k\ell }+\beta \delta _{ik}\delta _{j\ell }+\gamma \delta _{i\ell }\delta _{jk}.$

A exigência de que uma rotação rígida do fluido não produza tensão viscosa impõe $\beta =\gamma$, deixando dois coeficientes viscosos independentes. Uma decomposição comum utiliza a viscosidade de cisalhamento $\mu$ e a viscosidade volumétrica $\kappa$, de modo que $\alpha =\kappa -{\tfrac {2}{3}}\mu$ e $\beta =\gamma =\mu$. Em notação vetorial,

${\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{\mathrm {T} }\right]-\left({\frac {2}{3}}\mu -\kappa \right)(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {\delta } ,$

em que $\mathbf {\delta }$ é o tensor unitário.

A viscosidade volumétrica caracteriza dissipação associada à compressão e à expansão. Em um fluido incompressível, $\nabla \cdot \mathbf {v} =0$, de modo que o termo correspondente desaparece da expressão acima. Na teoria cinética clássica, a viscosidade volumétrica de um gás ideal monoatômico diluído é zero. Isso não vale para gases em geral. Em gases diatômicos e poliatômicos, a troca de energia entre movimento translacional e graus de liberdade internos, como rotação e vibração, pode produzir uma viscosidade volumétrica diferente de zero e, em determinadas faixas de temperatura e frequência, muito maior que a viscosidade de cisalhamento. Ela também entra na dissipação de som e ondas de choque, que envolvem compressões e expansões rápidas.

As relações constitutivas da viscosidade não são leis fundamentais independentes das propriedades da matéria. Sua validade e os métodos usados para medir ou calcular seus coeficientes dependem do estado e da composição do sistema. Em princípio, a viscosidade pode ser expressa em termos da dinâmica microscópica das partículas do fluido. Próximo do equilíbrio e longe das fronteiras, grande parte dessa informação pode ser substituída por campos macroscópicos locais, como temperatura e densidade.

Mesmo nessas condições, a viscosidade pode depender de temperatura, pressão e composição. Em materiais não newtonianos, também pode depender da intensidade, da duração e da frequência da deformação. Medições precisas de viscosidade só ficam bem definidas quando o estado do fluido e as condições de medição são especificados. Dados podem ainda ser extrapolados para limites convencionais, como o limite de cisalhamento nulo ou, para gases diluídos, o limite de densidade nula.

Transporte de quantidade de movimento

Ver também: Fenômenos de transporte

A teoria do transporte permite interpretar a viscosidade em termos do transporte de quantidade de movimento. A viscosidade caracteriza esse transporte dentro de um fluido, assim como a condutividade térmica caracteriza o transporte de calor e a difusividade caracteriza o transporte de massa. Essa interpretação está implícita na lei de Newton da viscosidade, pois a tensão de cisalhamento tem as mesmas dimensões de um fluxo de quantidade de movimento.

A analogia com a transferência de calor e massa pode ser escrita em uma dimensão como

${\begin{aligned}\mathbf {J} &=-D{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&&{\text{lei de Fick}}\\[5pt]\mathbf {q} &=-k_{t}{\frac {\partial T}{\partial x}}&&{\text{lei de Fourier}}\\[5pt]\tau &=\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}&&{\text{lei de Newton da viscosidade}}\end{aligned}}$

em que $\rho$ é a densidade, $\mathbf {J}$ e $\mathbf {q}$ são fluxos de massa e calor, $D$ é uma difusividade de massa e $k_{t}$ é a condutividade térmica.

Massa, quantidade de movimento e energia são grandezas conservadas nas interações microscópicas usuais que fundamentam as equações de transporte. Sua dinâmica macroscópica pode ser tratada por equações de conservação combinadas com relações constitutivas.

A deformação viscosa é dissipativa. Parte da energia mecânica de um escoamento é convertida irreversivelmente em energia interna por dissipação viscosa.

Fluidos newtonianos e não newtonianos

A inclinação das curvas representa a relação entre tensão de cisalhamento e taxa de cisalhamento para diferentes comportamentos reológicos.

A lei de Newton da viscosidade é uma equação constitutiva, como a lei de Hooke, a lei de Fick e a lei de Ohm. Em um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de cisalhamento e a constante de proporcionalidade $\mu$ não depende dessa taxa. Gases, água e muitos líquidos de moléculas pequenas podem ser tratados como newtonianos em condições usuais.

Muitos fluidos não newtonianos não obedecem a essa proporcionalidade simples. Entre eles estão:

• fluidos com espessamento por cisalhamento, cuja viscosidade aparente aumenta com a taxa de cisalhamento;
• fluidos pseudoplásticos, cuja viscosidade aparente diminui com a taxa de cisalhamento;
• materiais tixotrópicos, cuja viscosidade aparente diminui com o tempo sob determinadas condições de cisalhamento;
• materiais reopéticos, cuja viscosidade aparente aumenta com o tempo sob determinadas condições de cisalhamento;
• plásticos de Bingham, que apresentam uma tensão de escoamento antes de fluir de maneira contínua.

A razão de Trouton é a razão entre a viscosidade extensional e a viscosidade de cisalhamento. Para um fluido newtoniano incompressível em extensão uniaxial homogênea, essa razão é 3. Outros tipos de extensão possuem razões diferentes. Líquidos pseudoplásticos são muitas vezes chamados, de forma imprecisa, de tixotrópicos, embora pseudoplasticidade e tixotropia sejam propriedades distintas.

A viscosidade também pode depender da temperatura e da pressão. Nos gases diluídos, a viscosidade dinâmica depende fortemente da temperatura e apenas fracamente da pressão. Em líquidos, a dependência com a pressão pode tornar-se relevante sob pressões elevadas. Alguns materiais também respondem a campos externos. Um fluido magnetorreológico, por exemplo, muda suas propriedades reológicas quando submetido a um campo magnético.

Em sólidos

As forças viscosas que surgem durante o escoamento de um fluido diferem das forças elásticas de um sólido ideal. Em um material puramente elástico, a tensão depende da deformação. Em um fluido puramente viscoso newtoniano, a tensão de cisalhamento depende da taxa de deformação.

Muitos líquidos apresentam resposta elástica em escalas de tempo suficientemente curtas. No sentido inverso, materiais sólidos podem apresentar fluência e deformação viscosa em escalas de tempo longas. Materiais que apresentam respostas elásticas e viscosas são tratados como viscoelásticos.

No modelo de Maxwell mais simples, composto por um elemento elástico e um elemento viscoso em série, o tempo de relaxação $\tau$ satisfaz

$\tau ={\frac {\eta }{G}},$

ou, equivalentemente,

$\eta =G\tau ,$

em que $G$ é o módulo de cisalhamento do elemento elástico e $\eta$ é a viscosidade do elemento viscoso. Essa relação pertence ao modelo de Maxwell e não é uma identidade geral da viscosidade.

Materiais viscoelásticos também podem apresentar respostas extensionais e volumétricas que dependem do tempo e da frequência da deformação.

Em geologia, materiais terrestres cuja deformação viscosa é pelo menos três ordens de magnitude maior que a deformação elástica são às vezes chamados de reodos.

Medição

Ver artigo principal: Viscosímetro

A viscosidade é medida com diferentes tipos de viscosímetro e reômetro. O controle da temperatura do fluido é essencial para medições precisas, pois a viscosidade de muitos líquidos varia rapidamente com a temperatura. Um reômetro é usado quando a resposta do material não pode ser caracterizada por um único valor de viscosidade.

Para fluidos newtonianos, um único valor de viscosidade dinâmica caracteriza a relação entre tensão e taxa de cisalhamento em uma dada temperatura e pressão. Para fluidos não newtonianos, a resposta pode exigir uma curva de escoamento ou outros parâmetros.

Um dos instrumentos mais comuns para medir viscosidade cinemática é o viscosímetro capilar de vidro. Mede-se o tempo necessário para que uma quantidade de líquido atravesse uma região calibrada do capilar. O funcionamento desses instrumentos está relacionado ao escoamento descrito pela lei de Poiseuille.

Outro método é o viscosímetro de esfera em queda. Uma esfera move-se através do fluido e sua velocidade terminal é medida. No limite de baixo número de Reynolds, para uma esfera em um fluido newtoniano e em um meio suficientemente grande para que efeitos de parede e de extremidade sejam desprezíveis, a lei de Stokes fornece

$\mu ={\frac {2gr^{2}(\rho _{\mathrm {s} }-\rho _{\mathrm {f} })}{9v_{\mathrm {t} }}},$

em que $r$ é o raio da esfera, $\rho _{\mathrm {s} }$ sua densidade, $\rho _{\mathrm {f} }$ a densidade do fluido, $g$ a aceleração gravitacional e $v_{\mathrm {t} }$ a velocidade terminal. Em instrumentos reais, a proximidade das paredes e das extremidades do tubo e os efeitos de inércia podem exigir correções.

Na indústria de revestimentos, a consistência de líquidos pode ser caracterizada por copos de escoamento. Entre eles estão o copo de Zahn e o copo Ford. Nesses métodos, mede-se o tempo de escoamento através de um orifício calibrado.

Também usado em revestimentos, o viscosímetro Stormer emprega rotação sob carga. Os resultados são normalmente expressos em unidades Krebs, KU. Essa unidade é específica do método e não é uma unidade SI de viscosidade.

Viscosímetros vibratórios utilizam a interação entre um sensor oscilante e o fluido. A viscosidade altera a dissipação de energia e a resposta dinâmica do sensor.

A viscosidade extensional pode ser medida com reômetros capazes de produzir escoamentos extensionais. A viscosidade volumétrica pode ser inferida por métodos acústicos.

A viscosidade aparente é usada para caracterizar materiais não newtonianos em condições especificadas de medição. Um exemplo de aplicação ocorre em fluido de perfuração usado em poços de petróleo e gás.

A nanoviscosidade, isto é, a viscosidade percebida por sondas em escala nanométrica, pode ser medida por espectroscopia de correlação de fluorescência.

Unidades

A unidade do SI para viscosidade dinâmica é o newton-segundo por metro quadrado, N·s/m², equivalente ao pascal-segundo, Pa·s, e ao quilograma por metro por segundo, kg·m⁻¹·s⁻¹. A unidade CGS é o poise, P, equivalente a 0,1 Pa·s, nomeado em homenagem a Jean Léonard Marie Poiseuille. O centipoise, cP, equivale a 1 mPa·s.

A unidade do SI para a viscosidade cinemática é o metro quadrado por segundo, m²/s. No sistema CGS usa-se o stokes, St, equivalente a 10⁻⁴ m²/s, nomeado em homenagem a George Gabriel Stokes. O centistokes, cSt, equivale a 1 mm²/s = 10⁻⁶ m²/s.

A relação numérica entre centipoise e centistokes depende da densidade:

$\nu \;[\mathrm {cSt} ]={\frac {\mu \;[\mathrm {cP} ]}{\rho \;[\mathrm {g/cm^{3}} ]}}.$

Como a densidade da água a 20 °C é próxima de 1 g/cm³, uma viscosidade dinâmica de aproximadamente 1,002 cP corresponde a uma viscosidade cinemática próxima de 1,004 cSt.

Na indústria automotiva, o índice de viscosidade é usado para caracterizar a variação da viscosidade de um óleo com a temperatura.

O inverso multiplicativo da viscosidade dinâmica é a fluidez, definida por

$\phi ={\frac {1}{\mu }}.$

A indústria do petróleo também empregou historicamente a viscosidade cinemática determinada pelo viscosímetro Saybolt, expressa em segundos universais Saybolt, SUS. A conversão para centistokes é especificada pela norma ASTM D2161.

Números adimensionais relacionados

A viscosidade aparece em diferentes números adimensionais usados em mecânica dos fluidos, transferência de calor e transporte de massa.

O número de Reynolds,

$\mathrm {Re} ={\frac {\rho UL}{\mu }}={\frac {UL}{\nu }},$

compara efeitos de inércia e viscosidade.

O número de Grashof compara os efeitos de empuxo e viscosidade na convecção natural. O número de Prandtl,

$\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }},$

compara a difusividade de quantidade de movimento $\nu$ à difusividade térmica $\alpha$. O número de Schmidt,

$\mathrm {Sc} ={\frac {\nu }{D}},$

compara a difusividade de quantidade de movimento à difusividade de massa $D$. O número de capilaridade, frequentemente escrito como

$\mathrm {Ca} ={\frac {\mu U}{\gamma }},$

compara efeitos viscosos aos efeitos da tensão superficial ou interfacial.

Origem molecular

O transporte de quantidade de movimento nos gases é mediado pelo movimento e pelas colisões das moléculas. Nos líquidos, as moléculas estão próximas e a transferência de quantidade de movimento envolve interações intermoleculares e movimento molecular correlacionado. Por isso, a viscosidade dinâmica dos líquidos costuma ser muito maior que a dos gases sob condições ambientes. A viscosidade geralmente aumenta com a temperatura em gases diluídos e diminui com a temperatura em muitos líquidos.

Acima do ponto crítico líquido-gás de uma substância pura, não existe uma fronteira de fase entre líquido e gás e o fluido pode ocupar estados supercríticos. Ao longo de certas isóbaras supercríticas, a viscosidade cinemática diminui em uma faixa de temperatura e depois aumenta, passando por um mínimo. Kostya Trachenko e Vadim Brazhkin propuseram para a escala desse mínimo a estimativa

$\nu _{\text{min}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\hbar }{\sqrt {m_{\text{e}}m}}},$

em que $\hbar$ é a constante de Planck reduzida, $m_{\text{e}}$ é a massa do elétron e $m$ é a massa molecular. A expressão é uma aproximação teórica para a escala da viscosidade cinemática mínima, e seu fator numérico depende das aproximações usadas na derivação.

A viscosidade de um sistema depende das interações entre as partículas que o constituem. Entre as expressões formais exatas para a viscosidade de cisalhamento linear estão as relações de Green-Kubo e as funções de correlação temporal transiente derivadas por Evans e Morriss. Para fluidos densos, o uso dessas relações normalmente exige dinâmica molecular ou outros métodos computacionais.

Gases puros

Ver também: Teoria cinética dos gases

Cálculo elementar da viscosidade de um gás diluído

Considere um gás diluído movendo-se paralelamente ao eixo $x$, com velocidade $u(y)$ que depende apenas da coordenada $y$. Para simplificar, considere temperatura e densidade uniformes.

A velocidade na direção $x$ de uma molécula que atravessa $y=0$ conserva informação sobre a região onde ocorreu sua última colisão. Como o percurso livre médio $\lambda$ é pequeno em comparação com escalas macroscópicas, uma estimativa da velocidade média transportada de cada lado pode ser escrita como

$u(0)\pm \alpha \lambda {\frac {du}{dy}}(0),$

em que $\alpha$ é uma constante numérica da ordem de 1. Alguns tratamentos elementares dão $\alpha =2/3$.

Uma estimativa elementar do fluxo líquido de quantidade de movimento conduz a

$\mu =\alpha \rho \lambda {\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{\pi m}}},$

em que $k_{\text{B}}$ é a constante de Boltzmann, $m$ é a massa molecular e $\rho$ é a densidade.

Em um gás diluído, $\lambda$ é aproximadamente inversamente proporcional à densidade. A dependência explícita de $\rho$ é, assim, aproximadamente cancelada, o que explica por que a viscosidade dinâmica de um gás diluído depende pouco da densidade a temperatura fixa. O aumento da velocidade molecular com a temperatura contribui para o crescimento da viscosidade com a temperatura.

Para um modelo de esferas rígidas elásticas de diâmetro $\sigma$, obtém-se uma dependência da forma

$\mu ={\frac {\alpha }{\pi ^{3/2}}}{\frac {\sqrt {k_{\text{B}}mT}}{\sigma ^{2}}}.$

Nesse modelo, $\mu \propto T^{1/2}$. Interações moleculares mais realistas produzem dependências térmicas diferentes. A própria noção de percurso livre médio também se torna menos precisa quando as interações não podem ser tratadas como colisões localizadas.

Teoria de Chapman-Enskog

Ver artigo principal: Teoria de Chapman-Enskog

A teoria de Chapman-Enskog, desenvolvida por Sydney Chapman e David Enskog, parte da equação de Boltzmann e permite calcular coeficientes de transporte de gases diluídos a partir de modelos das interações intermoleculares.

A técnica permite ir além do modelo de esferas rígidas e incorporar forças intermoleculares. Isso é necessário para reproduzir a dependência experimental da viscosidade com a temperatura em gases reais.

Um exemplo é o modelo de Sutherland. Um potencial com forte repulsão de curto alcance e atração intermolecular fraca conduz a uma expressão que pode ser escrita como

$\mu =\mu _{0}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{3/2}{\frac {T_{0}+S}{T+S}},$

em que $S$ é um parâmetro do modelo, $T_{0}$ é uma temperatura de referência e $\mu _{0}$ é a viscosidade nessa temperatura. A fórmula de Sutherland fornece uma aproximação útil para gases simples em faixas limitadas de temperatura.

Modelos mais detalhados, como o potencial de Lennard-Jones e o potencial de Mie, permitem representar de maneira mais flexível as interações moleculares. Os parâmetros desses potenciais também podem ser ajustados a outras propriedades termofísicas e usados na previsão dos coeficientes de transporte.

Em moléculas fortemente polares, como a água, a hipótese de uma interação esfericamente simétrica pode ser insuficiente e o tratamento de Chapman-Enskog torna-se mais elaborado.

Viscosidade volumétrica

Na interpretação cinético-molecular, a viscosidade volumétrica de gases está relacionada à relaxação entre movimento translacional e graus de liberdade internos. Para um gás ideal monoatômico diluído, o valor clássico é zero. Em moléculas com graus de liberdade rotacionais e vibracionais, como dióxido de carbono, a viscosidade volumétrica pode ser diferente de zero.

Cálculos para gases ideais poliatômicos mostram que a viscosidade volumétrica pode variar muito com a temperatura e, para alguns gases, atingir valores centenas ou milhares de vezes maiores que a viscosidade de cisalhamento. Seu valor depende das escalas de tempo de relaxação molecular relevantes para a frequência e as condições do processo estudado.

Líquidos puros

Vídeo de três líquidos com viscosidades diferentes.

Experimento com um fluido viscoso, com corante azul para facilitar a visualização.

Ao contrário dos gases diluídos, não existe uma descrição molecular simples e universalmente precisa para a viscosidade dos líquidos.

Em uma descrição qualitativa, o movimento relativo entre regiões adjacentes de um líquido depende das forças intermoleculares e do rearranjo contínuo das moléculas. O aumento da temperatura facilita esses rearranjos e, em muitos líquidos, provoca uma queda acentuada da viscosidade.

Um modelo simples imagina as moléculas temporariamente confinadas por grupos de moléculas vizinhas, formando "gaiolas". O movimento molecular permite que uma molécula escape de uma configuração local e passe a outra. Uma estimativa obtida a partir dessa representação tem a forma

$\mu \approx {\frac {N_{\text{A}}h}{V}}\operatorname {exp} \left(3{,}8{\frac {T_{\text{b}}}{T}}\right),$

em que $N_{\text{A}}$ é a constante de Avogadro, $h$ é a constante de Planck, $V$ é o volume molar e $T_{\text{b}}$ é a temperatura normal de ebulição.

A expressão possui a mesma forma geral da relação empírica

$\mu =Ae^{B/T},$

em que $A$ e $B$ são constantes ajustadas aos dados. O modelo de gaiolas é apenas aproximado. A primeira expressão pode apresentar erros da ordem de dezenas por cento, e suas hipóteses microscópicas não se aplicam igualmente bem a todos os líquidos.

Tratamentos mais rigorosos podem partir das equações microscópicas de movimento. A teoria de Irving-Kirkwood é um exemplo. Nela, as tensões e os fluxos são expressos em termos de variáveis moleculares e funções de correlação. A aplicação direta dessas relações a líquidos densos exige informação microscópica detalhada.

Na prática, correlações empíricas ajustadas a dados experimentais continuam sendo muito usadas para calcular a viscosidade de líquidos.

Em líquidos formadores de vidro super-resfriados, a dependência da viscosidade com a temperatura varia muito entre materiais. Líquidos "fortes" apresentam comportamento aproximadamente arrheniano, enquanto líquidos "frágeis" apresentam desvios mais pronunciados de uma lei de Arrhenius. Mudanças estruturais durante o super-resfriamento podem ser acompanhadas pela função de distribuição radial $g(r)$ e pelo fator de estrutura $S(Q)$. Essas mudanças foram correlacionadas a alterações na dinâmica e na fragilidade de líquidos formadores de vidro.

Misturas

Misturas gasosas

A interpretação cinético-molecular de um gás puro também pode ser ampliada para misturas. Na abordagem de Chapman-Enskog, a viscosidade de uma mistura gasosa depende das propriedades dos componentes, de suas proporções e das interações entre espécies.

A dependência das interações intermoleculares entra através de integrais de colisão. Em modelos realistas, essas integrais podem exigir cálculo numérico ou correlações. Em outros casos, parâmetros são ajustados diretamente a dados experimentais.

Correlações de referência foram desenvolvidas para gases como nitrogênio, oxigênio, argônio e ar.

Para misturas formadas por moléculas relativamente simples, a teoria de Enskog revisada pode representar a dependência da viscosidade com densidade e temperatura em uma faixa ampla de condições.

Misturas de líquidos

Como ocorre com líquidos puros, é difícil prever a viscosidade de uma mistura líquida apenas a partir de princípios moleculares. Uma expressão empírica usada para misturas binárias é a equação de Lederer-Roegiers:

$\ln \mu _{\text{blend}}={\frac {x_{1}}{x_{1}+\alpha x_{2}}}\ln \mu _{1}+{\frac {\alpha x_{2}}{x_{1}+\alpha x_{2}}}\ln \mu _{2},$

em que $\alpha$ é um parâmetro empírico e $x_{1}$, $x_{2}$, $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ são as frações molares e viscosidades dos dois componentes.

Misturas de lubrificantes e produtos de petróleo são também tratadas por outras equações empíricas ou proprietárias.

Soluções e suspensões

Soluções aquosas

Dependendo do soluto e da concentração, uma solução aquosa de eletrólito pode ter viscosidade maior ou menor que a água pura à mesma temperatura e pressão. A 20 °C, por exemplo, uma solução com 20% em massa de cloreto de sódio tem viscosidade de aproximadamente 1,557 mPa·s, mais de 1,5 vez a da água pura, enquanto uma solução com 20% em massa de iodeto de potássio tem viscosidade de aproximadamente 0,910 mPa·s, cerca de 91% do valor da água.

Para soluções eletrolíticas muito diluídas, um modelo idealizado conduz à expressão

${\frac {\mu _{s}}{\mu _{0}}}=1+A{\sqrt {c}},$

em que $\mu _{0}$ é a viscosidade do solvente, $c$ é a concentração e $A$ depende do soluto e do solvente. Essa forma limite é usada para soluções diluídas. No tratamento citado, concentrações abaixo de aproximadamente 0,1 mol/L estão dentro da faixa em que ela pode ser empregada.

Para concentrações maiores, podem ser acrescentados termos de ordem superior:

${\frac {\mu _{s}}{\mu _{0}}}=1+A{\sqrt {c}}+Bc+Cc^{2}.$

Valores usados em uma correlação para cloreto de sódio e iodeto de potássio a 25 °C são:

Soluto	$A$ (mol−1/2 L1/2)	$B$ (mol−1 L)	$C$ (mol−2 L2)
Cloreto de sódio (NaCl)	0,0062	0,0793	0,0080
Iodeto de potássio (KI)	0,0047	−0,0755	0,0000

Suspensões

Em uma suspensão de partículas sólidas, como esferas micrométricas dispersas em óleo, pode-se definir uma viscosidade efetiva $\mu _{\text{eff}}$ a partir de tensões e taxas de deformação médias.

Para uma suspensão muito diluída de esferas rígidas, em regime de baixo número de Reynolds e sem interações entre partículas na primeira ordem, Einstein obteve

$\mu _{\text{eff}}=\mu _{0}\left(1+{\frac {5}{2}}\phi \right),$

em que $\mu _{0}$ é a viscosidade do líquido suspensor e $\phi$ é a fração volumétrica ocupada pelas partículas.

Para partículas de outras formas, uma expansão diluída pode ser escrita como

$\mu _{\text{eff}}=\mu _{0}(1+B\phi +\cdots ),$

em que $B$ depende da geometria das partículas.

Em suspensões mais concentradas, as interações hidrodinâmicas e de contato entre partículas tornam-se relevantes e a viscosidade deixa de depender linearmente da fração volumétrica. Uma aproximação simples acrescenta termos como

$\mu _{\text{eff}}=\mu _{0}(1+B\phi +B_{1}\phi ^{2}),$

mas sistemas concentrados podem apresentar comportamento não newtoniano e não podem, em geral, ser descritos por uma única expansão polinomial em toda a faixa de concentrações.

Uma suspensão de partículas sólidas difere de uma emulsão, formada por gotículas de outro fluido. As gotículas podem deformar-se e apresentar circulação interna, alterando a viscosidade efetiva da mistura.

Materiais amorfos

Curvas de viscosidade de diferentes vidros.

Em faixas nas quais um comportamento arrheniano é adequado, o escoamento viscoso em materiais amorfos, como vidros e materiais fundidos, pode ser representado por

$\mu =Ae^{Q/(RT)},$

em que $Q$ é uma energia de ativação efetiva, $T$ é a temperatura, $R$ é a constante molar dos gases e $A$ é um parâmetro do material.

Logaritmo comum da viscosidade em função da temperatura para B₂O₃, mostrando regimes de dependência diferentes.

Em faixas intermediárias de temperatura, muitos materiais apresentam comportamento não arrheniano. Uma expressão de duas exponenciais usada para alguns materiais formadores de vidro é

$\mu =AT\exp \left({\frac {B}{RT}}\right)\left[1+C\exp \left({\frac {D}{RT}}\right)\right],$

em que $A$, $B$, $C$ e $D$ são parâmetros. Essa forma é associada ao modelo de Douglas-Doremus-Ojovan.

Outra classe de modelos relaciona a energia necessária ao rearranjo molecular ao módulo de cisalhamento de alta frequência. No modelo de deslocamento de Dyre, essa ideia conduz a relações entre a viscosidade, um volume característico de rearranjo e o módulo elástico.

Uma expressão proposta a partir desse tipo de tratamento é

$\mu =\exp \left\{{\frac {V_{c}C_{G}}{k_{B}T}}\exp \left[(2+\lambda )\alpha _{T}T_{g}\left(1-{\frac {T}{T_{g}}}\right)\right]\right\},$

em que $C_{G}$ é um módulo de cisalhamento de alta frequência, $V_{c}$ é um volume característico de rearranjo, $\alpha _{T}$ é o coeficiente de dilatação térmica, $T_{g}$ é a temperatura de transição vítrea e $\lambda$ caracteriza a parte repulsiva das interações atômicas no modelo.

Viscosidade turbulenta

No estudo da turbulência, os efeitos de movimentos não resolvidos podem ser representados em modelos por uma viscosidade efetiva chamada de viscosidade turbulenta. Ela não é uma propriedade molecular do fluido. É uma quantidade de modelagem associada ao transporte de quantidade de movimento pelas flutuações turbulentas.

Ao contrário da viscosidade molecular de um fluido passivo, uma viscosidade turbulenta efetiva pode assumir valores negativos em determinados modelos ou escoamentos. Isso pode representar transferência de energia das escalas menores para escalas maiores, e não uma viscosidade molecular negativa que violaria as condições usuais de dissipação termodinâmica.

Previsão

Como a viscosidade varia com temperatura, pressão e composição, medições em um número finito de estados não bastam para caracterizar todas as condições possíveis. Fórmulas e correlações são usadas para interpolar ou prever valores em condições para as quais não há uma medição direta.

Para gases monoatômicos diluídos e suas misturas, cálculos ab initio podem prever viscosidades a partir de potenciais intermoleculares obtidos por mecânica quântica. Para o hélio diluído, cálculos modernos baseados em potenciais ab initio alcançam incertezas muito pequenas e podem ser usados como referência para propriedades de transporte.

Para fluidos mais densos e misturas, a teoria de Enskog revisada fornece uma abordagem aproximada que pode usar parâmetros obtidos de outras propriedades termofísicas.

Para muitos fluidos, as representações mais precisas são correlações ajustadas a conjuntos de dados experimentais avaliados. Correlações de referência foram publicadas para substâncias como água, dióxido de carbono, amônia, benzeno e xenônio.

A formulação IAPWS de 2008 para a viscosidade da água cobre a região estável do fluido desde a curva de fusão até 1.173 K em pressões de até 300 MPa. Ela também cobre pressões de até 1.000 MPa em uma faixa de temperatura mais limitada, conforme os limites especificados pela formulação.

Programas de propriedades termofísicas implementam essas equações para uso computacional. O REFPROP, do NIST, é proprietário, enquanto o CoolProp é distribuído como software de código aberto.

A viscosidade também pode ser calculada a partir das estatísticas das trajetórias microscópicas de partículas. Entre as relações usadas estão as relações de Green-Kubo e as funções de correlação temporal transiente. Esses métodos exigem trajetórias suficientemente longas e um modelo adequado das interações entre partículas, o que pode tornar o cálculo caro para moléculas complicadas.

Substâncias selecionadas

No experimento da gota de piche da Universidade de Queensland, o piche escorre lentamente por um funil desde 1927. Sua viscosidade foi estimada em cerca de $2{,}3\times 10^{11}$ vezes a viscosidade da água.

Ver artigo principal: Lista de viscosidades

Valores de viscosidade cobrem muitas ordens de magnitude. Uma solução de sacarose com 70% em massa, por exemplo, possui viscosidade superior a 400 vezes a da água a 20 °C e aproximadamente 26.000 vezes a do ar sob condições ambientes. O piche usado no experimento da Universidade de Queensland foi estimado em aproximadamente 230 bilhões de vezes a viscosidade da água.

Água

A viscosidade dinâmica da água líquida a 25 °C e pressão próxima da atmosférica é aproximadamente 0,89 mPa·s. A 20 °C é aproximadamente 1,002 mPa·s.

Uma aproximação simples para sua dependência com a temperatura em uma faixa limitada pode ser escrita na forma de Vogel-Fulcher-Tammann:

$\mu =Ae^{B/(T-C)},$

em que $A=0{,}02939$ mPa·s, $B=507{,}88$ K e $C=149{,}3$ K. Para cálculos de referência em uma faixa ampla de temperatura e pressão, usam-se formulações internacionais como a da IAPWS.

Viscosidade dinâmica da água em diferentes temperaturas

Temperatura (°C)	Viscosidade (mPa·s)
10	1,3059
20	1,0016
30	0,79722
50	0,54652
70	0,40355
90	0,31417

Ar

A aproximadamente 25 °C e 1 bar, a viscosidade dinâmica do ar é cerca de 18,5 μPa·s, aproximadamente cinquenta vezes menor que a viscosidade da água à mesma temperatura. Em pressões moderadas, a dependência da viscosidade do ar com a temperatura é muito mais pronunciada que sua dependência com a pressão.

Uma aproximação empírica simples é

$\eta _{\text{ar}}=2{,}791\times 10^{-7}T^{0{,}7355},$

com $T$ em kelvin e $\eta _{\text{ar}}$ em Pa·s. A expressão é usada aproximadamente entre −20 °C e 400 °C.

Mel sendo derramado.

Outras substâncias comuns

Os valores para materiais não newtonianos são valores ou faixas aparentes correspondentes às condições dos ensaios citados.

Substância	Viscosidade (mPa·s)	Temperatura (°C)	Ref.
Benzeno	0,604	25
Água	1,0016	20
Mercúrio	1,526	25
Leite integral	2,12	20
Cerveja escura	2,53	20
Azeite	56,2	26
Mel	421–23.405	25–45
Ketchup	≈ 5.000–20.000	25
Manteiga de amendoim	≈ 104–106
Piche	2,3 × 1011	10–30, variável

Estimativas por ordem de magnitude

A tabela abaixo mostra ordens de magnitude representativas. Salvo indicação diferente, os valores correspondem aproximadamente a 25 °C e pressão próxima da atmosférica. Materiais não newtonianos não possuem uma viscosidade única independente das condições de ensaio.

Fator (Pa·s)	Faixa	Exemplos	Valores (Pa·s)	Ref.
10−6	Gases de baixa viscosidade	Butano	7,49 × 10−6
		Hidrogênio	8,8 × 10−6
10−5	Outros gases	Crípton	2,538 × 10−5
		Néon	3,175 × 10−5
10−4	Líquidos de baixa viscosidade	Pentano	2,24 × 10−4
		Gasolina	6 × 10−4
		Água	8,90 × 10−4
10−3	Líquidos com viscosidade da ordem de milipascal-segundo	Etanol	1,074 × 10−3
		Mercúrio	1,526 × 10−3
		Leite integral a 20 °C	2,12 × 10−3
		Sangue	3 × 10−3 a 6 × 10−3
		Aço líquido a 1.550 °C	6 × 10−3
10−2–100	Óleos e hidrocarbonetos de cadeia longa	Óleo de linhaça	0,028
		Ácido oleico	0,036
		Azeite	0,084
		Óleo lubrificante SAE 10	0,085 a 0,14
		Óleo de rícino	0,1
		Óleo lubrificante SAE 20	0,14 a 0,42
		Óleo lubrificante SAE 30	0,42 a 0,65
		Óleo lubrificante SAE 40	0,65 a 0,90
		Glicerol	1,5
		Xarope para panquecas	2,5
101–103	Pastas, géis e outros semissólidos, geralmente não newtonianos	Ketchup	≈ 101
		Mostarda
		Creme azedo	≈ 102
		Manteiga de amendoim
		Banha	≈ 103
≈ 108	Material viscoelástico	Piche	2,3 × 108
≈ 1021	Materiais geológicos em escalas de tempo longas	Manto terrestre	≈ 1019 a 1024

Ver também

• Reologia, estudo do escoamento e da deformação da matéria
• Número de Deborah, compara uma escala de relaxação do material com a escala de observação
• Fluxo invíscido, idealização de escoamentos em que a viscosidade é desprezada
• Número de Morton, número adimensional que incorpora viscosidade, densidade, gravidade e tensão superficial
• Coeficiente de Reynolds, compara efeitos de inércia e viscosidade em um escoamento
• Lei de Poiseuille, relaciona vazão, pressão e viscosidade no escoamento laminar por tubos

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Ligações externas

• Viscosity - The Feynman Lectures on Physics
• Propriedades de fluidos no NIST Chemistry WebBook
• Viscosity calculation of glasses