Nieskończonokąt

Nieskończonokąt (apeirogon, $\infty$-kąt) – uogólniony wielokąt o nieskończenie wielu bokach i wierzchołkach. W geometrii euklidesowej rozpatruje się go jako granicę ciągu wielokątów foremnych, których liczba boków dąży do nieskończoności.

W zależności od przyjętej geometrii i sposobu konstrukcji nieskończonokąt może przyjmować różne kształty. W geometrii euklidesowej foremny nieskończonokąt jest utożsamiany z okręgiem, jednak w bardziej ogólnym ujęciu granicą ciągu wielokątów o nieskończenie wielu bokach mogą być także inne krzywe zamknięte, takie jak elipsa czy inne owale. Nie są one jednak wielokątami w ścisłym znaczeniu, ponieważ nie składają się z odcinków, lecz stanowią krzywe graniczne powstające w wyniku odpowiedniego zagęszczania wierzchołków i boków.

Nieskończonokąt foremny

Okrąg jako granica wielokątów foremnych.

Jest to graniczna postać wielokąta foremnego, otrzymywana przy nieograniczonym zwiększaniu liczby jego boków. Każdy bok ma długość dążącą do zera, natomiast obwód pozostaje skończony i jest równy długości okręgu.

Można go traktować jako granicę ciągu foremnych $n$-kątów dla $n\to \infty$.

Wszystkie jego boki mają długość graniczną równą

$\lim _{n\to \infty }2R\sin {\frac {\pi }{n}}=0$.

Każdy kąt wewnętrzny ma miarę graniczną

$\lim _{n\to \infty }{\frac {(n-2)\pi }{n}}=\pi =180^{\circ }$.

Kąt środkowy oparty na jednym boku ma miarę graniczną

$\lim _{n\to \infty }{\frac {2\pi }{n}}=0$.

Okrąg wpisany i opisany pokrywają się, dlatego

$r=R$.

Obwód wynosi

$l=2\pi R$.

Pole powierzchni ograniczonej nieskończonokątem wynosi

$S=\pi R^{2}$.

Liczba przekątnych formalnie dąży do nieskończoności:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-3)}{2}}=\infty$.

Nieskończonokąt posiada nieskończenie wiele osi symetrii oraz symetrię obrotową względem dowolnego kąta.

Granica pól, obwodów oraz pozostałych własności foremnych $n$-kątów prowadzi bezpośrednio do wzorów opisujących okrąg i koło. Z tego względu w geometrii elementarnej okrąg bywa interpretowany jako foremny nieskończonokąt, choć formalnie okrąg nie jest wielokątem, lecz krzywą zamkniętą.