Кубика

У математиці, плоска кубічна крива (або плоска крива третього степеня) — це плоска алгебрична крива $K_{3}$ , загальне рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд:

A\cdot x^{3}+3B\cdot x^{2}y+3C\cdot xy^{2}+D\cdot y^{3}+3E\cdot x^{2}+6F\cdot xy+3G\cdot y^{2}+Hx+Iy+K=0

де хоча б один з коефіцієнтів A, B, C, D не дорівнює нулю.

Загальне рівняння кривої 3-го порядку має 10 коефіцієнтів. Оскільки крива не зміниться, якщо рівняння помножити на довільне ненульове число, то належним підбором множника можна будь-який коефіцієнт рівняння зробити рівним 1, і, таким чином, залишити 9 коефіцієнтів.

Отже, простір кубічних кривих можна ототожнити з дійсним проєктивним простором $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{9}$ розмірності 9, відносно будь-якого даного поля C.

Звідси також випливає, що оскільки кубика має 9 ступенів вільності, то згідно з теоремою Крамера про алгебричні криві^[en] довільні 9 точок площини в загальному положенні однозначно визначають єдину невироджену криву 3-го порядку. Аналогічно до того, як дві точки однозначно визначають пряму, а п'ять точок визначають коніку^[en].

Якщо через задану множину дев'яти точок проходять дві криві, то ці точки фактично визначають сімейство кубічних кривих, та мають додаткові властивості; див. теорему Келі-Бакараха^[en].

Невироджена плоска крива 3-го порядку може мати такі сингулярні (тобто особливі) точки: одну вузлову (подвійну) точку, або одну точку звороту (касп). В цьому випадку вона має параметризацію в термінах проєктивної прямої.

Вироджена плоска крива 3-го порядку (це або коніка та пряма, або три прямі), може мати дві подвійні вузлові точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі у випадку трьох прямих).

Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсні точки перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точки перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках.

Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем C, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел.

Можна розглядати криві 3-го степеня над іншими полями (або навіть кільцями), наприклад, над комплексними числами. Окрім того, можна розглядати криві в проєктивній площині, що задаються однорідними багаточленами.

Альтернативне означення:

Плоска кубічна крива — це алгебрична крива $K_{3}$ , що задана кубічним рівнянням F(x, y, z) = 0 в однорідних координатах x:y:z проєктивної площини.

У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні приймають z = 1. Функція F є ненульовою лінійною комбінацією щонайбільше десяти одночленів третього степеня: x³, y³, z³, x²y, x²z, y²x, y²z, z²x, z²y, xyz.

Класифікація кривих третього порядку

Вперше класифікацію кривих 3-го порядку здійснив І. Ньютон в 1704 році, описавши в своїй роботі 72 криві. Однак пізніше Дж. Стірлінг та Ф. Ніколь доповнили його класифікацію ще шістьма кривими, які Ньютон неврахував.

Найбільш зручний принцип, що покладається в основу класифікації кривих 3-го порядку, є розподіл їх на групи в залежності від кількости та характеру їх нескінченних гілок.

Класифікація Ньютона

Докладніше: Класифікація Ньютона кривих 3-го порядку

І.Ньютон, застосовуючи елементарні перетворення, зводить загальне рівняння 3-го степеня (див. попередній розділ) до однієї з чотирьох канонічних форм:^[1]^:стор.8

{\begin{aligned}&A:\qquad xy^{2}+ey&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,;\\&B:\qquad xy&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,;\\&C:\qquad y^{2}&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,;\\&D:\qquad y&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.\end{aligned}}

Потім за коефіцієнтами канонічного рівняння він формує допоміжне характеристичне рівняння 4-го (або 3-го) степеня:

a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+{\frac {e^{2}}{4}}=0

або

a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0

В залежности від різних співвідношень між коренями характеристичного рівняння, Ньютон поділяє всі криві 3-го порядку на 7 класів, 14 родів та 72 типи.

Криві, рівняння яких зводиться до канонічної форми $A$ , Ньютон поділяє на 4 класи:

$\qquad$ Клас 1 Гіперболічні гіперболи $(a>0)$ (розділяються в свою чергу на 4 роди):

Адіаметральні $(e\neq 0)$ — без діаметрів; (9 типів кривих);
Монодіаметральні $(e=0;b^{2}\neq 4ac)$ — з одним діаметром; (12 типів кривих);
Тридіаметральні $(e=0;b^{2}=4ac)$ — з трьома діаметрами; (2 типа кривих);
Гіперболічні гіперболи з асимптотами, що перетинаються в одній точці $(b=0)$ ; (9 типів кривих).

$\qquad$ Клас 2 Дефективні гіперболи $(a<0)$ :

Адіаметральні $(e\neq 0)$ ; (6 типів кривих);
Монодіаметральні $(e=0)$ ; (7 типів кривих).

$\qquad$ Клас 3 Параболічні гіперболи $(a=0;\,b\neq 0)$ :

Адіаметральні $(e\neq 0)$ ; (7 типів кривих);
Монодіаметральні $(e=0)$ ; (4 типа кривих).

$\qquad$ Клас 4 Гіперболізми конічних перетинів $(a=b=0)$ :

Гіперболізм гіперболи $(c>0)$ ; (4 типа кривих);
Гіперболізм еліпса $(c<0)$ ; (3 типа кривих);
Гіперболізм параболи $(c=0)$ ; (2 типа кривих).

Криві, рівняння яких зводиться до канонічних форм $B$ , $C$ та $D$ налічуюють по одному класу:

$\qquad$ Клас 5 Тризуб або Параболізм гіперболи;
$\qquad$ Клас 6 Розбіжна парабола (цей клас поділяється на 5 типів);
$\qquad$ Клас 7 Кубічна парабола.

Класифікація Плюккера

Ю. Плюккер класифікує криві 3-го порядку (1835 р.) в залежности від положення асимптот та прямої $s$ , що з'єднує точки перетину кривої з асимптотами.

Плюккер поділяє всі криві 3-го порядка на 6 класів:^[1]^{:стор.28-30}
$\qquad$ 1-й клас містить гіперболічні та дефективні гіперболи. Криві цього класу мають три прямолінійні асимптоти.
$\qquad$ 2-й клас містить параболічні гіперболи, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти.
$\qquad$ 3-й клас містить гіперболізми конічних перетинів. У кривих цього класу дві з трьох прямолінійних асимптот паралельні між собою.
$\qquad$ 4-й клас містить розбіжні параболи, асимптотою яких є також розбіжна парабола.
$\qquad$ 5-й клас містить тризубці, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти.
$\qquad$ 6-й клас містить кубічні параболи, які не мають асимптот.
Криві одного класу Плюкер поділяє на категорії, роди, види, групи та типи. Всього він налічує 219 типів кривих 3-го порядку.

Властивості кривих третього порядку

Формула Плюккера

Нехай

$n=k\cdot (k-1)-2t-3\omega$ — порядок кривої ;
$k=n\cdot (n-1)-2d-3r$ — клас кривої (визначається кількістю дотичних до кривої, які можна провести з точки, що лежить поза кривою);
$r=3k\cdot (k-2)-6t-8\omega$ — кількість точок звороту;
$d$ — кількість інших подвійних точок ;
$\omega =3n\cdot (n-2)-6d-8r$ — кількість точок перегину;
$t$ — кількість подвійних дотичних;
$p$ — дефіцієнт кривої (різниця між можливою та наявною кількістю подвійних точок).
Згідно зі своїми формулами, Юліус Плюккер для кривої третього порядку представив ці залежності у вигляді таблиці, виділивши три типи кривих 3-го порядку:^[1]^:стор.95 ^[2]^{:стор.201}

Тип	n	k	r	d	ω	p
(I)	3	6	0	0	9	1
(II)	3	4	0	1	3	0
(III)	3	3	1	0	1	0

Криві типів (II) та (III) є раціональними кубиками, та відомі як нодальні (мають особливу вузлову точку (або точку самоперетину), з двома дотичними в ній) та каспідальні (мають особливу точку звороту — касп) кубики відповідно. Криві типу (I) є несингулярними кубиками (без особливих точок), тобто еліптичними кривими.

Теореми

1 Теорема Маклорена

Якщо в трьох точках перетину кривої 3-го порядку з деякою прямою провести до цієї кривої дотичні, то точки їх перетину з кривою лежать також на одній прямій.^[3]^:стор.54

2 Якщо пряма проходить через дві точки перегину кривої 3-го порядку, то вона обов'язково пройде і через третю точку перегину.^[3]^:стор.55

Згідно з цією теоремою, якщо крива має три точки перегину, то вони обов'язково дежать га одній прямій.

3 Якщо через чотири точки кривої 3-го порядку проведена крива 2-го порядку, яка перетинає задану криву ще в двох точках, то пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає криву 3-го порядку в певній точці, що спільна для всіх кривих 2-го порядку, які проходять через чотири задані точки.^[3]^:стор.55

Точки перегину, кратні точки

Відомо, що точки перегину алгебричної кривої збігаються з точками перетину цієї кривої та її гесіани.^[3]^:стор.56

Гесіаною алгебричної кривої $F(x,y)=0$ називається крива, що визначається рівнянням

{\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{y}\\F_{x}&F_{y}&0\end{vmatrix}}=0

Гесіана кривої 3-го порядку є крива 3-го порядку. Звідки випливає, що максимальна кількість точок перегину у кривої 3-го порядку не перевищує дев'яти. З них дійсними точками можуть бути лише три.

Як довів Ф.Кляйн ^[4] ^{:стор.161} для кривої $K_{n}^{k}$ (крива n-го порядку та k-го класу) має місце співвідношення:

n+\omega '+2t''=k+r'+d''

де
$\omega '$ — кількість дійсних точок перегину;
$r'$ — кількість дійсних точок звороту;
$d''$ — кількість дійсних ізольованих точок;
$t''$ — кількість дійсних ізольованих дотичних.
З цих співвідношень випливає, що крива $K_{3}$ має або три дійсні точки перегину (неособлива $K_{3}$ та $K_{3}^{4}$ з ізольованою точкою), або ж одну дійсну точку перегину ( $K_{3}^{4}$ з вузловою точкою та $K_{3}^{3}$ ).

Крива 3-го порядку з вузловою точкою має одну дійсну точку перегину та дві уявні. У кривої 3-го порядку з ізольованою точкою всі три точки перегину дійсні.

Кожна крива 3-го порядку, яка не має подвійної точки, має щонайменше одну дійсну точку перегину (яка може бути і нескінченно віддаленою).^[3]^:стор.56

Крива 3-го порядку не може мати бьш ніж одну подвійну точку, а також не може мати потрійних точок.
Крива $K_{3}$ не може мати уявних подвійних точок, а також подвійних дотичних, оскільки подвійна дотична має з кривою не менш ніж чотири спільні точки.
Криві 3-го порядку, які мають подвійну точку, є раціональними кривими.

Помістивши початок координат в подвійну точку, отримаємо рівняння кривої 3-го порядку у вигляді:

A\cdot x^{3}+3B\cdot x^{2}y+3C\cdot xy^{2}+D\cdot y^{3}+3E\cdot x^{2}+6F\cdot xy+3G\cdot y^{2}=0

Установивши, що $y=t\cdot x$ отримаємо параметричні рівняння кривої 3-го порядку: ${\begin{cases}x(t)=-{\frac {3(E+2F\cdot t+G\cdot t^{2})}{A+3B\cdot t+3C\cdot t^{2}+D\cdot t^{3}}}\\y(t)=-{\frac {3t\cdot (E+2F\cdot t+G\cdot t^{2})}{A+3B\cdot t+3C\cdot t^{2}+D\cdot t^{3}}}\end{cases}}$ , які є раціональними.

Раціональна крива 3-го порядку з вузловою (подвійною) точку, або точкою звороту (каспом), має одну дійсну точку перегину, а крива з ізольованою точкою — три дійсні точки перегину.^[3]^:стор.57

Полюси та поляри

Криву 2-го порядку, на якій лежать точки дотику дотичних, що проведені до кривої 3-го порядку $F(x,y,z)=0$ з точки $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ називають першою полярою точки P відносно кривої $F(x,y,z)=0$ , а саму точку $P$ — полюсом.
Її рівняння в однорідних координатах x:y:z:

{\begin{aligned}&x_{1}\cdot (A\cdot x^{2}+2B\cdot xy+C\cdot y^{2}+2E\cdot xz+2F\cdot yz+H\cdot z^{2})\,+\\+\,&y_{1}\cdot (B\cdot x^{2}+2C\cdot xy+D\cdot y^{2}+2F\cdot xz+2G\cdot yz+K\cdot z^{2})\,+\\+\,&z_{1}\cdot (E\cdot x^{2}+2F\cdot xy+G\cdot y^{2}+2H\cdot xz+2K\cdot yz+L\cdot z^{2})=0\end{aligned}}

Точка $P$ також має поляру відносно цієї кривої 2-го порядку; її називають другою полярою точки P відносно кривої 3-го порядку. Ця поляра є прямою з рівнянням:

{\begin{aligned}&x\cdot (A\cdot x_{1}^{2}+2B\cdot x_{1}y_{1}+C\cdot y_{1}^{2}+2E\cdot x_{1}z_{1}+2F\cdot y_{1}z_{1}+H\cdot z_{1}^{2})\,+\\+\,&y\cdot (B\cdot x_{1}^{2}+2C\cdot x_{1}y_{1}+D\cdot y_{1}^{2}+2F\cdot x_{1}z_{1}+2G\cdot y_{1}z_{1}+K\cdot z_{1}^{2})\,+\\+\,&z\cdot (E\cdot x_{1}^{2}+2F\cdot x_{1}y_{1}+G\cdot y_{1}^{2}+2H\cdot x_{1}z_{1}+2K\cdot y_{1}z_{1}+L\cdot z_{1}^{2})=0\end{aligned}}

Перша поляра є геометричним місцем точок, другі поляри яких проходять через полюс;
Друга поляра є геометричним місцем точок, перші поляри яких проходять через полюс.

Якщо полюс знаходиться на самій кривій, то друга поляра збігається з дотичною. Оскільки при цьому полюс знаходиться на першій полярі, то друга торкається першої в полюсі, а отже, крива 3-го порядку та її перша поляра мають в полюсі дві спільні точки, що збігаються одна з одною. А отже, кількість інших їх спільних точок не перевищує 4.

Друга поляра нескінченно віддаленої точки відносно кривої 3-го порядку є діаметром цієї кривої, та має рівняння:

{\begin{aligned}(A+2Bm+Cm^{2})\cdot x+(B+2Cm+Dm^{2})\cdot y+(E+2Fm+Gm^{2})=0\end{aligned}}

де $m$ — кутовий коефіцієнт хорд, до яких цей діаметр є спряженим.

Кожна хорда кривої 3-го порядку гармонічно ділиться цією кривою та першою полярою однієї з точок перетину цієї хорди з кривою.
Перша поляра точки перегину є виродженою кривою 2-го порядку, а саме парою прямих, що перетинаються. Одна з цих прямих є дотичною до кривої 3-го порядку, а другу називають гармонійною полярою точки перегину кривої 3-го порядку.

Гармонійна поляра є геометричним місцем четвертих гармонічних точок щодо трьох точок перетину з кривою хорд, що проходять через точку перегину.^[3]^{:стор.57-60}

Приклади кривих 3-го порядку

Нижче наведено низку прикладів кривих 3-го порядку та їх рівняння

$Кубічна парабола y = x 3 {\displaystyle y=x^{3}}$
Кубічна парабола
$y=x^{3}$
Кубічна парабола/ графік функції полінома третього степеня
y = ax³+bx²+cx+d
$Декартів лист x 3 + y 3 − 3 a x y = 0 {\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}$
Декартів лист
$x^{3}+y^{3}-3axy=0$
$Цисоїда Діокла ( x 2 + y 2 ) x = 2 a y 2 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}}$
Цисоїда Діокла
$(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}$
Конхоїда Слюза
(x-1)(x²+y²) = ax²
$Кубика з подвійною точкою y 2 = x 2 ( x + 1 ) {\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$
Кубика з подвійною точкою
$y^{2}=x^{2}(x+1)$
$Строфоїда y 2 = x 2 a − x a + x {\displaystyle y^{2}=x^{2}{\frac {a-x}{a+x}}}$
Строфоїда
$y^{2}=x^{2}{\frac {a-x}{a+x}}$
$Напівкубічна парабола y 2 = x 3 {\displaystyle y^{2}=x^{3}}$
Напівкубічна парабола
$y^{2}=x^{3}$
$Змієподібна крива[en] y = a b x x 2 + a 2 {\displaystyle y={\frac {abx}{x^{2}+a^{2}}}}$
Змієподібна крива^[en]
$y={\frac {abx}{x^{2}+a^{2}}}$
Тризуб
xy+ax³+bx²+cx = d
Трисектриса Маклорена
2x(x²+y²) = a(3x²-y²)
$Кубика Чирнгауза 3 a y 2 = x ( x − a ) 2 {\displaystyle 3ay^{2}=x(x-a)^{2}}$
Кубика Чирнгауза
$3ay^{2}=x(x-a)^{2}$
$Локон Аньєзі y = a 3 x 2 + a 2 {\displaystyle y={\frac {a^{3}}{x^{2}+a^{2}}}}$
Локон Аньєзі
$y={\frac {a^{3}}{x^{2}+a^{2}}}$

Кубічні криві в площині трикутника

Нехай ABC — трикутник з довжинами сторін a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |.
Всі кубічні криві, описані в цьому розділі, проходять через чудові точки трикутника.
У прикладах, наведених нижче, використовуються два види однорідних координат: трилінійні та барицентричні. Для переходу від трилінійних координат до барицентричних в кубічному рівнянні слід зробити заміну наступним чином:

x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;

для переходу від барицентричних координат до трилінійних використовується заміна:

x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.

Більшість рівнянь кривих 3-го порядку мають вигляд:

f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.

У наведених нижче прикладах, такі рівняння записуються більш коротко в «циклічному запису суми», тобто:

\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0

Кубічні криві, що описані нижче, можна означити через ізогональне спряження $X*$ точки $X$ , яка не лежить на стороні $△ ABC$ . Точка $X*$ будується наступним чином. Нехай $L_{A}$ — лінія, що отримана шляхом відбиття лінії $XA$ відносно бісектриси внутрішнього кута $A$ ;
$L_{B}$ і $L_{C}$ означаються аналогічно. Тоді три лінії $L_{A}$ , $L_{B}$ та $L_{C}$ перетинаються в одній точці $X*$ .
В трилінійних координатах: якщо $X=x:y:z,$ то $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$

Кубика Нойберга

Рівняння в трилінійних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0

Рівняння в барицентричних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0

Кубика Нойберга (названа на честь Джозефа Жана Батіста Нойберга^[en]) — це геометричне місце точок $X$ (ГМТ) таких, що ізогонально спряжені до них точки $X*$ знаходяться на прямій $EX$ , де $E$ є точкою нескінченності Ейлера (X(30) в Енциклопедії центрів трикутника).
Крім того, ця кубика є ГМТ точок $X$ , таких, що трикутник $△ X A X B X C$ є перспективним до $△ ABC$ (тобто прямі $AX A, BX B, CX C$ перетинаються в одній точці), де точки $X A, X B, X C$ отримані шляхом відбиття точки $X$ відносно прямих $BC,\,CA,\,AB$ , відповідно.

Кубика Нойберга проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, обидві точки Ферма, обидва ізодинамічних центра, точку нескінченності Ейлера, центри зовнівписаних кіл, основи висот $△ ABC$ (вершини ортотрикутника), вершини шести рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах $△ ABC$ та інші центри трикутника.

Графіки і властивості кубик Нойберга див. Кубику K001 Берхарда Гіберта в площині трикутника [Архівовано 9 квітня 2017 у Wayback Machine.].

Кубика Томсона

Рівняння в трилінійних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0

Рівняння в барицентричних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0

Кубика Томсона — це ГМТ точок $X$ для яких ізогонально спряжена точка $X*$ знаходиться на прямій $GX$ , де $G$ є центроїдом трикутника $△ ABC$ .

Кубика Томсона проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центроїд, центр описаного кола, ортоцентр, точка Лемуана, вершини $A,\,B,\,C$ , центри зовнівписаних кіл, середини сторін $BC,\,CA,\,AB$ , і середини висот $△ ABC$ , інші центри трикутника.

Для кожної точки $P$ на кубиці, окрім тих, що належать також сторонам трикутника, ізогонально спряжена до $P$ точка також лежить на кубиці.

Графіки і властивості див. Кубику K002 в площині трикутника [Архівовано 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Дарбу

Рівняння в трилінійних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0

Рівняння в барицентричних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0

Кубика Дарбу — це ГМТ точок $X$ , для кожної з яких ізогонально спряжена точка $X*$ лежить на прямій $LX$ , де $L$ — Точка Лоншама^[en].
Також кубика Дарбу є ГМТ точок $X$ для кожної з яких її подерний трикутник відносно трикутника $△ ABC$ є також чевіанним трикутником деякої точки (яка лежить на кубиці Лукаса).
Також ця кубика є ГМТ точок $X$ , для кожної з яких її подерний та античевіанний трикутники є перспективними; центр перспективи лежить на кубиці Томсона.

Кубика Дарбу проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, точку Лоншама, вершини $A,\,B,\,C$ , центри зовнівписаних кіл, точки описаного кола, діаметрально протилежні до вершин $A,\,B,\,C$ , інші центри трикутника.

Для кожної точки $P$ на кубиці, окрім тих, що належать також сторонам трикутника, ізогонально спряжена до $P$ точка також лежить на кубиці.

Графіки і властивості див. Кубику K004 в площині трикутника [Архівовано 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Наполеона — Феєрбаха

Рівняння в трилінійних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0

Рівняння в барицентричних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0

Кубика Наполеона — Феєрбаха — це ГМТ точок $X$ , для кожної з яких ізогонально спряжена точка $X*$ лежить на прямій $NX$ , де $N$ — центр кола дев'яти точок (N = X(5) в Енциклопедії центрів трикутника).

Кубика Наполеона — Феєрбаха проходить через центри вписаного і описаного кіл, ортоцентр, першу і другу точки Наполеона, вершини $A,\,B,\,C$ , центри зовнівписаних кіл, проєкції центроїда на висоти і центри 6-ти рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах $△ ABC$ , інші центри трикутника.

Графіки і властивості див. Кубику K005 в площині трикутника [Архівовано 15 квітня 2016 у Wayback Machine.].

Кубика Лукаса

Рівняння в трилінійних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0

Рівняння в барицентричних координатах:

\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0

Кубика Лукаса — це ГМТ точок $X$ , для кожної з яких її чевіанний трикутник є подерним трикутником деякої точки $X'$ , що лежить на кубиці Дарбу.

Кубика Лукаса проходить через центроїд, ортоцентр, точку Жергона, точку Нагеля, точку Лоншама, інші центри трикутника, вершини антисерединного трикутника і фокуси еліпса Штейнера.

Графіки і властивості див. Кубику K007 в площині трикутника [Архівовано 18 січня 2017 у Wayback Machine.].

Див. також

Примітки

1 2 3 Смогоржевский А.С., Столова Е.С., 1961.
↑ Harold Hilton, 1902.
1 2 3 4 5 6 7 Савелов А.А., 1961.
↑ F. Klein. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert. Ч.1 (переклад з нім.). — Berlin : Verlsg von Julius Springer, 1926.

Література

Синцов Д.М. Диференціяльна геометрія. — Х.: : Радянська школа, 1931. — 272 с.(укр.)
Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1961.

Harold Hilton (1920). Plane Algebraic Curves. Oxford. с. 201.
Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

Посилання

Weisstein, Eric W. Cubic Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Bix, Robert (1998), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves, New York: Springer, ISBN 0-387-98401-1.
Cerin, Zvonko (1998), Locus properties of the Neuberg cubic, Journal of Geometry, 63 (1—2): 39—56, doi:10.1007/BF01221237.
Cerin, Zvonko (1999), On the cubic of Napoleon, Journal of Geometry, 66 (1—2): 55—71, doi:10.1007/BF01225672.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), Some cubic curves associated with a triangle, Journal of Geometry, 53 (1—2): 41—66, doi:10.1007/BF01224039.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1), Journal of Geometry, 66 (1—2): 72—103, doi:10.1007/BF01225673.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2), Journal of Geometry, 68 (1—2): 58—75, doi:10.1007/BF01221061.
Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), A Morley configuration, Forum Geometricorum, 1: 51—58.
Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), The Simson cubic, Forum Geometricorum, 1: 107—114.
Gibert, Bernard (2003), Orthocorrespondence and orthopivotal cubics, Forum Geometricorum, 3: 1—27.
Kimberling, Clark (1998), Triangle Centers and Central Triangles, Congressus Numerantium, 129: 1—295. See Chapter 8 for cubics.
Kimberling, Clark (2001), Cubics associated with triangles of equal areas, Forum Geometricorum, 1: 161—171.
Lang, Fred (2002), Geometry and group structures of some cubics, Forum Geometricorum, 2: 135—146.
Pinkernell, Guido M. (1996), Cubic curves in the triangle plane, Journal of Geometry, 55 (1—2): 142—161, doi:10.1007/BF01223040.
Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (вид. 3rd), New York: Chelea

[FOOTNOTEСмогоржевский_А.С.,_Столова_Е.С.1961-1] 1 2 3 Смогоржевский А.С., Столова Е.С., 1961.

[FOOTNOTEHarold_Hilton1902-2] Harold Hilton, 1902.

[FOOTNOTEСавелов_А.А.1961-3] 1 2 3 4 5 6 7 Савелов А.А., 1961.

[4] F. Klein. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert. Ч.1 (переклад з нім.). — Berlin : Verlsg von Julius Springer, 1926.

[1]

[2]

[3]

[4]